Equações do 1º Grau

Conceitos fundamentais

Uma equação do primeiro grau possui a forma geral \(ax + b = 0\), com \(a \neq 0\). A solução indica o valor que torna a igualdade verdadeira.

• Incógnita: valor desconhecido representado por letras (x, y...).
• Coeficientes: números multiplicando ou somando à incógnita.
• Conjunto solução: conjunto formado por todos os valores que satisfazem a equação.

\(x = -\frac{b}{a}\)

Procedimentos principais

1. Organize a equação
   • Distribua termos se necessário e mantenha tudo no formato \(ax + b = 0\).
   • Elimine parênteses aplicando a propriedade distributiva.
2. Isolamento da incógnita
   • Some ou subtraia termos iguais em ambos os lados.
   • Divida pelo coeficiente de x para obter o valor final.
3. Equações com frações
   • Multiplique ambos os lados pelo MMC dos denominadores para limpar frações.
   • Simplifique antes de resolver.
4. Equações com duas etapas
   • Primeiro elimine constantes, depois lide com o coeficiente da incógnita.
5. Verificação
   • Substitua a solução encontrada de volta na equação inicial.
   • Se ambos os lados resultarem no mesmo valor, a solução é válida.

Casos especiais e observações

• Coeficiente zero: se \(a = 0\) restar \(b = 0\), a equação vira identidade (infinitas soluções). Se \(b \neq 0\), não há solução.
• Sinais: distribua o sinal negativo antes de remover parênteses para evitar erros.
• Unidades: mantenha as mesmas unidades (ex.: reais, metros) ao montar equações com contexto.
• Equações proporcionais: multiplicar ambos os lados por um mesmo número não nulo não altera o conjunto solução.

Exemplos resolvidos

1. \(5x - 12 = 3x + 8\)

   \(5x - 12 - 3x = 8 \Rightarrow 2x = 20 \Rightarrow x = 10\)

2. \(\frac{x - 2}{3} + \frac{x}{2} = 5\)

   \(\text{MMC} = 6 \Rightarrow 2(x - 2) + 3x = 30 \Rightarrow 5x = 34 \Rightarrow x = \frac{34}{5}\)

3. Problema: "o dobro de um número menos 7 resulta em 17".

   \(2x - 7 = 17 \Rightarrow 2x = 24 \Rightarrow x = 12\)

4. Equação com parênteses: \(4(x - 3) = 2(x + 1)\)

   \(4x - 12 = 2x + 2 \Rightarrow 2x = 14 \Rightarrow x = 7\)

Pratique

1. Resolva \(7x + 9 = 2x - 16\).
2. Encontre a solução de \(\frac{3x + 1}{4} - \frac{x}{2} = 1\).
3. Monte e resolva uma equação que represente o triplo de um número somado a 5 igual a 26.
4. Verifique se \(x = -4\) é solução de \(2(x - 3) = -2x + 2\).
5. Crie uma situação de compra e venda que resulte em uma equação do 1º grau.