Equações do 2º Grau

Conceitos fundamentais

Equações do segundo grau possuem a forma \(ax^2 + bx + c = 0\), com \(a \neq 0\). Seus gráficos são parábolas e as soluções representam os pontos onde a parábola corta o eixo x.

• Coeficientes: \(a\) (quadrático), \(b\) (linear) e \(c\) (constante).
• Discriminante: \(\Delta = b^2 - 4ac\).
• Raízes: valores de x que satisfazem a equação.

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)

Procedimentos principais

1. Organizar a equação
   • Traga todos os termos para o mesmo lado para obter \(ax^2 + bx + c = 0\).
2. Fatoração
   • Busque dois números que somem b e multipliquem ac.
   • Use soma e produto para casos simples.
3. Completamento de quadrado
   • Transforme em \((x + p)^2 = q\) para resolver extraindo a raiz.
4. Fórmula de Bhaskara
   • Calcule \(\Delta\) e substitua na fórmula padrão.
5. Análise gráfica
   • Vértice: \(V\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right)\).
   • Abertura depende do sinal de a (para cima se a > 0).

Casos especiais e observações

• Sem raízes reais: \(\Delta < 0\) indica que a parábola não corta o eixo x.
• Raiz dupla: \(\Delta = 0\) gera uma única solução \(x = -\frac{b}{2a}\).
• Equações incompletas: quando b ou c são zero, use estratégias mais curtas (fatorar x ou extrair raiz).
• Sinal de a: define concavidade e influencia o valor máximo ou mínimo.

Exemplos resolvidos

1. \(x^2 - 5x + 6 = 0\) (fatoração).

   \((x - 2)(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 2 \text{ ou } x = 3\)

2. \(2x^2 + 3x - 5 = 0\) (Bhaskara).

   \(\Delta = 3^2 - 4\cdot 2\cdot (-5) = 49 \Rightarrow x = \frac{-3 \pm 7}{4} \Rightarrow x = 1 \text{ ou } x = -\frac{5}{2}\)

3. \(x^2 - 4x = 12\) (completar quadrado).

   \(x^2 - 4x + 4 = 16 \Rightarrow (x - 2)^2 = 16 \Rightarrow x = 2 \pm 4 \Rightarrow x = 6 \text{ ou } x = -2\)

4. Problema: altura de um projétil \(h(t) = -5t^2 + 20t\). Determine quando volta ao chão.

   \(-5t^2 + 20t = 0 \Rightarrow -5t(t - 4) = 0 \Rightarrow t = 0 \text{ ou } t = 4\,s\)

Pratique

1. Resolva \(x^2 + 7x + 10 = 0\) utilizando soma e produto.
2. Calcule as raízes de \(3x^2 - 12 = 0\).
3. Classifique o número de soluções reais de \(4x^2 + 4x + 1 = 0\).
4. Use Bhaskara para \(2x^2 - x - 3 = 0\) e interprete o sinal de a.
5. Modele um problema de área ou lançamento envolvendo uma equação do 2º grau.