Expressões Algébricas

Expressões algébricas

Manipule termos algébricos com segurança: identifique termos semelhantes, aplique produtos notáveis e faça substituições para resolver problemas.

Conceitos fundamentais

Uma expressão algébrica combina números, variáveis e operações. Ela não possui sinal de igualdade explícito, mas pode ser avaliada para determinados valores.

  • Termos: cada parcela separada por sinal de + ou -.
  • Coeficiente: número que multiplica a parte literal.
  • Grau: maior expoente da variável (em monômios) ou soma de expoentes em cada termo.

\(3x^2y - 4xy + 7\) é uma expressão de grau 3.

Procedimentos essenciais

  1. Simplificação
    • Agrupe termos semelhantes somando ou subtraindo seus coeficientes.
    • Ex.: \(5x - 2x = 3x\).
  2. Produto notável
    • Aplique fórmulas como \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) e \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
  3. Fatoração
    • Coloque o fator comum em evidência ou utilize produtos notáveis invertidos.
    • Ex.: \(6x^2 - 3x = 3x(2x - 1)\).
  4. Substituição de valores
    • Troque a variável pelo número indicado e respeite a prioridade das operações.
  5. Operações com polinômios
    • Para somar ou subtrair, alinhe os termos do mesmo grau.
    • Para multiplicar, distribua cada termo de um polinômio em todos os termos do outro.

Casos especiais

  • Expoentes negativos: representam inversos, como \(x^{-1} = \frac{1}{x}\).
  • Expressões racionais: mantenha denominadores e aplique restrições para evitar divisão por zero.
  • Valor numérico: ao substituir, respeite sinais e utilize parênteses para números negativos.
  • Identidades: expressões verdadeiras para quaisquer valores, úteis em demonstrações.

Exemplos resolvidos

  1. Simplifique: \(4x^2 - 3x + 2x^2 + 5x\).

    \((4x^2 + 2x^2) + (-3x + 5x) = 6x^2 + 2x\)

  2. Calcule \((2a - 3)^2\).

    \((2a)^2 - 2\cdot 2a \cdot 3 + 3^2 = 4a^2 - 12a + 9\)

  3. Fatorize \(x^2 - 9\).

    \(x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)\)

  4. Valor numérico: para \(P(x) = x^2 - 5x + 6\), calcule \(P(4)\).

    \(4^2 - 5\cdot 4 + 6 = 16 - 20 + 6 = 2\)

Pratique

  1. Simplifique \(7xy - 3xy + 2x^2\).
  2. Expanda \((x + 5)(x - 2)\).
  3. Fatorize \(12y^2 - 18y\).
  4. Calcule o valor numérico de \(Q(a) = 2a^3 - a\) para \(a = -2\).
  5. Descreva uma situação do cotidiano modelada por uma expressão algébrica.