Figuras Planas e Ângulos

Conceitos fundamentais

Figuras planas ocupam uma região no plano e são limitadas por segmentos ou curvas. Ângulos medem a abertura entre duas semirretas com origem em comum.

• Polígonos: figuras formadas por segmentos. Classificação por número de lados (triângulos, quadriláteros, pentágonos...).
• Ângulos: agudos (< 90°), retos (= 90°), obtusos (> 90°), rasos (= 180°) e giro (= 360°).
• Soma dos ângulos internos: \(S = (n - 2) \cdot 180^\circ\).
• Ângulo interno regular: \(\alpha = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}\)
• Ângulo externo regular: \(\beta = \frac{360^\circ}{n}\).

Procedimentos essenciais

1. Classificação de polígonos
   • Conte o número de lados e identifique se é convexo (segmento entre dois pontos fica dentro) ou não convexo.
   • Verifique se os lados têm medidas iguais (regular) e se os ângulos são congruentes.
2. Perímetro
   • Some todos os lados: \(P = a + b + c + \ldots\).
   • Para polígonos regulares: \(P = n \cdot l\), onde \(l\) é o comprimento de um lado.
3. Área
   • Triângulo: \(A = \frac{b \cdot h}{2}\).
   • Retângulo: \(A = b \cdot h\); losango: \(A = \frac{D \cdot d}{2}\).
   • Polígono regular: \(A = \frac{P \cdot apótema}{2}\).
4. Ângulos complementares e suplementares
   • Complementares: somam 90°. Suplementares: somam 180°.
   • Em triângulos: \(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ\).
5. Uso do transferidor
   • Posicione a origem do transferidor no vértice e alinhe um lado do ângulo com a marca zero.
   • Leia a medida onde o outro lado encontra a escala.

Casos especiais e observações

• Triângulos notáveis: equilátero (todos os lados iguais), isósceles (dois lados iguais) e retângulo (um ângulo de 90°).
• Quadriláteros: quadrado, retângulo, losango e trapézio possuem propriedades específicas de paralelismo e ângulos.
• Diagonais: número em um polígono convexo é \(d = \frac{n(n - 3)}{2}\).
• Somatória de ângulos externos: sempre 360°, independentemente do número de lados.
• Perímetro x área: figuras diferentes podem ter mesmo perímetro e áreas distintas; discuta em sala para desenvolver intuição geométrica.

Exemplos resolvidos

1. Soma dos ângulos de um heptágono: \(S = (7 - 2) \cdot 180^\circ = 900^\circ\).
2. Ângulo interno de um pentágono regular: \(\alpha = \frac{(5 - 2) \cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ\).
3. Perímetro de um hexágono regular: lado 4 cm, \(P = 6 \cdot 4 = 24\) cm.
4. Área de um losango: diagonais 12 cm e 8 cm. \(A = \frac{12 \cdot 8}{2} = 48 \text{ cm}^2\).
5. Diagonais de um decágono convexo: \(d = \frac{10 \cdot 7}{2} = 35\).

Pratique

1. Classifique os triângulos de acordo com lados e ângulos.
2. Calcule o perímetro de um quadrado cujo lado mede 12 cm.
3. Encontre a soma dos ângulos internos de um polígono de 14 lados.
4. Determine o número de diagonais de um octógono convexo.
5. Explique como identificar ângulos complementares em um desenho geométrico.