Frações Equivalentes

Frações equivalentes

Entenda como diferentes representações fracionárias podem indicar a mesma quantidade, usando visuais parte-todo, ampliação, simplificação e comparações numéricas.

Conceitos fundamentais

Duas frações são equivalentes quando representam a mesma proporção, mesmo que numerador e denominador sejam números distintos.

\(\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6}\)

Em uma interpretação parte-todo, essas frações ocupam metade da figura, independentemente do número de divisões.

Figura Frações marcadas Observação
Retângulo dividido em 2 partes \(\tfrac{1}{2}\) Uma parte colorida em duas divisões iguais.
Retângulo dividido em 4 partes \(\tfrac{2}{4}\) Duas partes coloridas equivalem à mesma área do caso anterior.
Retângulo dividido em 6 partes \(\tfrac{3}{6}\) Três partes coloridas continuam representando metade do total.

Procedimentos para ampliar e simplificar

  1. Ampliação
    • Multiplique numerador e denominador por um mesmo número natural.
    • Exemplo: \(\frac{3}{5} = \frac{3 \times 2}{5 \times 2} = \frac{6}{10}\).
  2. Simplificação
    • Divida numerador e denominador por um divisor comum.
    • Exemplo: \(\frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}\).
  3. Uso do máximo divisor comum
    • Para simplificar uma fração de forma direta, calcule o MDC (máximo divisor comum).
    • No exemplo anterior, \(\mathrm{MDC}(12, 18) = 6\).
  4. Representação decimal
    • Converta frações equivalentes para decimais para verificar igualdade.
    • \(\frac{1}{2} = 0{,}5\) e \(\frac{2}{4} = 0{,}5\).

Casos especiais e observações

  • Frações impróprias: também admitem equivalência, como \(\frac{9}{4} = \frac{18}{8}\).
  • Zero no numerador: qualquer fração com numerador 0 é equivalente a 0.
  • Denominadores negativos: mova o sinal para o numerador: \(\frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}\).
  • Comparação visual: diagramas parte-todo ou retas numéricas ajudam a validar se duas frações ocupam o mesmo ponto.

Exemplos resolvidos

  1. Amplie \(\frac{5}{9}\) por 3: \(\frac{5}{9} = \frac{5 \times 3}{9 \times 3} = \frac{15}{27}\).
  2. Simplifique \(\frac{24}{32}\): \(\frac{24}{32} = \frac{24 \div 8}{32 \div 8} = \frac{3}{4}\).
  3. Verifique visualmente que \(\frac{3}{6}\) e \(\frac{2}{4}\) ocupam o mesmo ponto na reta numérica.
  4. Compare \(\frac{7}{10}\) e \(\frac{28}{40}\) transformando em decimais: ambos valem $0{,}7$.

Pratique

  1. Amplie \(\frac{4}{7}\) para obter um denominador igual a 28.
  2. Simplifique \(\frac{42}{56}\) utilizando o MDC.
  3. Marque em uma reta numérica as frações \(\frac{1}{3}\), \(\frac{2}{6}\) e \(\frac{4}{12}\) e descreva o que observa.
  4. Crie um exemplo de fração equivalente com numerador zero.
  5. Compare \(\frac{3}{5}\) e \(\frac{12}{20}\) explicando o processo adotado.