Operações com Frações

Operações com frações

Veja como somar, subtrair, multiplicar e dividir frações e números mistos utilizando procedimentos passo a passo, verificações e dicas de cálculo mental.

Conceitos fundamentais

Uma fração representa a razão entre duas grandezas. Para operar com elas, é essencial lembrar que o denominador indica em quantas partes o inteiro foi dividido, e o numerador quantas partes estão sendo consideradas.

  • Frações próprias: numerador menor que o denominador.
  • Frações impróprias: numerador maior ou igual ao denominador.
  • Números mistos: parte inteira + fração própria (ex.: $2 \tfrac{1}{3}$).

\(\text{Número misto} = a + \frac{b}{c} = \frac{ac + b}{c}\)

Procedimentos passo a passo

  1. Soma e subtração com denominadores iguais
    • Mantenha o denominador e opere os numeradores: $\frac{a}{d} \pm \frac{b}{d} = \frac{a \pm b}{d}$.
  2. Soma e subtração com denominadores diferentes
    • Encontre o MMC dos denominadores.
    • Ajuste numeradores para o denominador comum e some/subtraia.
    • Exemplo: $\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$.
  3. Multiplicação
    • Multiplique numeradores entre si e denominadores entre si.
    • Simplifique antes ou depois do produto para evitar números grandes.
    • Exemplo: $\frac{3}{5} \times \frac{10}{9} = \frac{30}{45} = \frac{2}{3}$.
  4. Divisão
    • Mantenha a primeira fração e multiplique pelo inverso da segunda.
    • Exemplo: $\frac{7}{8} \div \frac{2}{5} = \frac{7}{8} \times \frac{5}{2} = \frac{35}{16}$.
  5. Operar números mistos
    • Converta cada misto em fração imprópria, realize a operação e, se necessário, volte ao formato misto.

Casos especiais e observações

  • Sinal negativo: pode ficar no numerador, denominador ou fora da fração. Ex.: $-\frac{3}{4} = \frac{-3}{4} = \frac{3}{-4}$.
  • Zeros: frações com denominador zero não existem; numerador zero torna o valor nulo.
  • MMC vs. produto: usar o MMC evita denominadores exagerados, mas em casos simples pode-se usar o produto direto.
  • Simplificação preventiva: reduzir fatores antes de multiplicar minimiza erros.

Exemplos resolvidos

  1. Soma: $\frac{5}{12} + \frac{7}{18}$.

    \(\text{MMC}(12, 18) = 36 \Rightarrow \frac{15}{36} + \frac{14}{36} = \frac{29}{36}\)

  2. Subtração com mistos: $2 \tfrac{3}{5} - 1 \tfrac{1}{2}$.

    \(2 \tfrac{3}{5} = \frac{13}{5}; 1 \tfrac{1}{2} = \frac{3}{2}\) \(\Rightarrow \frac{26}{10} - \frac{15}{10} = \frac{11}{10} = 1 \tfrac{1}{10}\)

  3. Multiplicação: $\frac{9}{14} \times \frac{7}{18}$.

    \(\frac{9}{14} \times \frac{7}{18} = \frac{63}{252} = \frac{1}{4}\)

  4. Divisão: $\frac{11}{15} \div \frac{22}{45}$.

    \(\frac{11}{15} \times \frac{45}{22} = \frac{495}{330} = \frac{3}{2}\)

Pratique

  1. Resolva $\frac{3}{4} + \frac{5}{8}$ e simplifique o resultado.
  2. Calcule $\frac{7}{9} - \frac{2}{3}$ utilizando MMC.
  3. Multiplique $1 \tfrac{2}{5}$ por $\frac{15}{8}$ e escreva o resultado como número misto.
  4. Divida $\frac{5}{6}$ por $\frac{10}{9}$ e explique por que o valor final é menor que 1.
  5. Crie um problema contextualizado que envolva soma e multiplicação de frações.