Propriedades das Operações

Propriedades das operações

Conheça como comutatividade, associatividade, distributiva e neutralidade ajudam a reorganizar cálculos, simplificar expressões e criar estratégias de cálculo mental mais ágeis.

Conceitos fundamentais

As propriedades matemáticas descrevem regras que permanecem verdadeiras para qualquer valor real. As mais usadas no dia a dia aparecem nas quatro operações fundamentais.

Propriedade Expressão geral Válida para
Comutativa \(a + b = b + a \quad \text{e} \quad a \times b = b \times a\) Apenas adição e multiplicação
Associativa \((a + b) + c = a + (b + c)\) Adição e multiplicação
Distributiva \(a \times (b + c) = a \times b + a \times c\) Multiplicação em relação à adição/subtração
Elementos neutros \(a + 0 = a \quad \text{e} \quad a \times 1 = a\) Todas as operações

Explorar essas propriedades permite rearranjar parcelas, agrupar fatores convenientes e reduzir etapas em cálculos longos.

Procedimentos práticos

  1. Reorganize com comutatividade
    • Troque a ordem das parcelas ou fatores para alinhar números complementares (ex. 18 + 22 + 32 + 28).
    • Emparelhamentos rápidos: $18 + 32 = 50$ e $22 + 28 = 50$, facilitando a soma mental.
  2. Agrupe mentalmente com associatividade
    • Combine parcelas em blocos que produzem dezenas ou centenas.
    • Na multiplicação, reagrupe fatores: $(2 \times 5) \times 7 = 10 \times 7$.
  3. Use a distributiva para decompor
    • Transforme multiplicações em somas simples: $19 \times 8 = (20 - 1) \times 8$.
    • Em expressões algébricas, aplique o fator externo a cada termo interno.
  4. Combine com elementos neutros
    • Adicione 0 ou multiplique por 1 para ajustar expressões sem alterar resultados.
    • Exemplo: $7{,}5 \times 4 = 75 \times 4 \div 10$, usando o fator 10 para facilitar a conta.

Casos especiais e observações

  • Subtração e divisão não comutam: $9 - 4 \ne 4 - 9$ e $12 \div 3 \ne 3 \div 12$.
  • Associatividade falha na divisão: $(24 \div 3) \div 2 \ne 24 \div (3 \div 2)$.
  • Distributiva sobre a subtração: $a \times (b - c) = a \times b - a \times c$ exige atenção ao sinal.
  • Estratégias mentais: arredondar e compensar (ex.: $49 + 36 = 50 + 35$) é aplicação direta das propriedades.

Exemplos resolvidos

  1. Comutatividade na adição:

    \(27 + 48 + 33 + 52 = (27 + 33) + (48 + 52) = 60 + 100 = 160\)

  2. Associatividade na multiplicação:

    \((4 \times 25) \times 6 = 100 \times 6 = 600\)

  3. Distributiva com números decimais:

    \(7{,}2 \times 15 = 7{,}2 imes (10 + 5) = 72 + 36 = 108\)

  4. Cálculo mental com compensação:

    Para $198 + 57$, some 2 à primeira parcela e subtraia 2 da segunda: $(198 + 2) + (57 - 2) = 200 + 55 = 255$.

Pratique

  1. Mostre duas maneiras diferentes de calcular $34 + 46 + 66$ usando comutatividade e associatividade.
  2. Reescreva $18 \times 27$ aplicando a distributiva para facilitar o cálculo mental.
  3. Explique por que $5 - (3 - 1) \ne (5 - 3) - 1$ e encontre os valores.
  4. Use um fator neutro para calcular $12{,}5 \times 8$ sem calculadora.
  5. Crie um problema que exija a distributiva para ser resolvido e apresente a solução.