Sequências e Padrões

Sequências e padrões

Identifique regularidades numéricas e figurativas, escreva o termo geral e calcule somas de progressões aritméticas (PA), geométricas (PG) e outras sequências com regras próprias.

Conceitos fundamentais

Uma sequência é uma lista ordenada em que cada elemento possui uma posição \(n\). Podemos descrevê-la por uma fórmula explícita (termo geral) ou por uma regra recursiva.

  • Termo geral: expressão que gera \(a_n\) diretamente a partir de \(n\).
  • PA: diferença constante \(r\) entre termos consecutivos.
  • PG: razão constante \(q\) multiplicando cada termo.

\(\text{PA: } a_n = a_1 + (n - 1)r \quad \text{PG: } a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\)

Procedimentos essenciais

  1. Reconhecer padrões
    • Observe diferenças, razões, alternâncias de sinais ou blocos que se repetem.
    • Use tabelas para visualizar como o termo cresce em função de \(n\).
  2. Termo geral da PA
    • Subtraia termos consecutivos para encontrar \(r\).
    • Substitua em \(a_n = a_1 + (n - 1)r\).
  3. Termo geral da PG
    • Divida um termo pelo anterior para obter \(q\).
    • Use \(a_n = a_1 q^{n-1}\) e verifique com os valores iniciais.
  4. Regra recursiva
    • Descreva como gerar \(a_{n+1}\) a partir de \(a_n\) (ex.: \(a_{n+1} = a_n + 4\)).
    • Informe sempre o valor inicial \(a_1\).
  5. Soma de termos
    • PA: \(S_n = \frac{(a_1 + a_n)\cdot n}{2}\).
    • PG com \(q \neq 1\): \(S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}\).

Casos especiais e observações

  • Padrões figurativos: conte elementos em mosaicos ou triângulos e procure fórmulas em função de \(n\).
  • Sequências alternadas: podem combinar duas regras (ex.: sinais positivos/negativos).
  • Sequências definidas por partes: regras diferentes para \(n\) par ou ímpar.
  • Verificação: substitua \(n\) na expressão encontrada para confirmar se reproduz os termos dados.

Exemplos resolvidos

  1. PA crescente: 4, 7, 10, ...

    \(r = 3 \Rightarrow a_{12} = 4 + 11 \cdot 3 = 37\)

  2. PG: 2, 6, 18, ...

    \(q = 3 \Rightarrow a_5 = 2 \cdot 3^{4} = 162\)

  3. Soma parcial de PA: 1, 4, 7, ...

    \(a_{20} = 1 + 19 \cdot 3 = 58 \Rightarrow S_{20} = \frac{(1 + 58) \cdot 20}{2} = 590\)

  4. Padrão figurativo: número de pontos em triângulos 1, 3, 6, 10, ...

    \(a_n = \frac{n(n + 1)}{2}\)

Pratique

  1. Determine o termo geral de 5, 9, 13, 17, ...
  2. Encontre \(a_6\) para a PG 81, 27, 9, ...
  3. Crie uma regra para 2, 5, 10, 17, 26, ...
  4. Modele um padrão geométrico e descreva \(a_n\).
  5. Explique um contexto real que resulte em uma PA.