Seção 4 · Derivadas
Aplicações Físicas das Derivadas
Derivadas não são só símbolos. Elas medem velocidade, controle de temperatura, taxas de crescimento e muito mais.
Objetivos
- Associar derivadas a grandezas físicas como velocidade e aceleração.
- Interpretar modelos clássicos: queda livre, resfriamento de Newton, crescimento populacional.
- Analisar o significado dos sinais de f'(t) e f''(t).
Modelos emblemáticos
Movimento retilíneo
Posição s(t). Velocidade v=s' e aceleração a=s''. Ex.: queda livre s(t)=s_0+v_0 t-\frac{1}{2}gt^2.
Lei do resfriamento
\(\frac{dT}{dt}=-k(T-T_{amb})\). Solução: T(t)=T_{amb}+(T_0-T_{amb})e^{-kt}.
Crescimento logístico
\(\frac{dP}{dt}=rP(1-\frac{P}{K})\). Derivada indica velocidade de crescimento e saturação.
Exemplos
- Em s(t)=10+4t-5t^2, encontre instante em que velocidade zera e interprete aceleração constante.
- Objeto quente a 80°C em ambiente de 25°C resfria conforme lei de Newton com k=0.4. Calcule dT/dt aos 5 min.
- População com r=0.5 e K=1000. Quando o crescimento é máximo?
Pratique
- Determine velocidade instantânea de um projétil com s(t)=100t-4.9t^2 no t=3.
- Em resfriamento, encontre tempo para chegar a 30°C.
- Explique o significado físico de f''<0 em movimento retilíneo.
Checklist
- Traduzi derivada em grandeza concreta?
- Mostrei pelo menos dois modelos clássicos?
- Incluí exercícios interpretativos?