Seção 4 · Derivadas
Aproximação Linear e Diferencial
A reta tangente é a melhor reta para aproximar a função perto de um ponto. Use-a como calculadora instantânea.
Objetivos
- Construir a aproximação linear L(x)=f(a)+f'(a)(x-a).
- Interpretar diferenciais: dy=f'(x)dx.
- Calcular erros aproximados e relativos.
Ideias principais
Aproximação
\(L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\). Use quando x está "perto" de a.
Diferencial
Defina dx como pequeno incremento e calcule dy=f'(x)dx. Aproxima o Δy real.
Erro
Erro≈|f(x)-L(x)|. Para estimativa rápida, use segunda derivada (Teorema de Taylor).
Exemplos
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√(4.1)
f(x)=√x em a=4. f(4)=2, f'(4)=1/4. L(4.1)=2+1/4(0.1)=2.025.
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sin(0.03)
a=0, f(0)=0, f'(0)=1 ⇒ L(0.03)=0.03.
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Diferencial do volume
V=πr^2h com h constante. dV=2πrh dr. Estime variação quando r muda pouquinho.
Pratique
- Aproxime e^0.02 usando a=0.
- Use diferenciais para estimar Δ(ln x) quando x=2 e dx=0.05.
- Erro máximo ao aproximar cos x perto de 0 com L(x)=1.
Checklist
- Defini a função e o ponto base a.
- Calculei f(a) e f'(a).
- Escrevi L(x) e interpretei dy=f'(a)dx.
Checklist rápido
- Mostrei fórmula da aproximação?
- Trabalhei exemplos numéricos?
- Conectei diferencial a variação?