Seção 6 · Integrais
Área, Somas de Riemann e Integral
Comece empilhando retângulos, refine até o infinito e ganhe o símbolo \(\int\). Esta página é o portal para o próximo módulo.
Objetivos
- Definir somas inferior e superior para uma função positiva.
- Compreender o limite das somas como integral definida.
- Relacionar área geométrica com \(\int_a^b f(x)\,dx\).
Conceitos essenciais
Partições
Corte [a,b] em n subintervalos. O maior comprimento chama-se \(\|P\|\). Quanto menor \(\|P\|\), melhor a aproximação.
Soma inferior/superior
\(L(f,P)=\sum m_i\Delta x_i\) usando mínimos; \(U(f,P)=\sum M_i\Delta x_i\) usando máximos.
Integral
Se \(\sup L = \inf U\), definimos \(\int_a^b f(x)dx\) como esse valor. Em funções contínuas a igualdade sempre ocorre.
Exemplos
- Área sob f(x)=x em [0,1]. Calcule somas com n=4 e depois o limite, obtendo 1/2.
- Função escalonada. Mostre que integrais de funções por partes coincidem com área composta.
- Visualização numérica: use tabela com Δx=0.25 para f(x)=\sin x em [0,\pi].
Pratique
- Monte somas inferior e superior para f(x)=x^2 em [0,2] com n=4.
- Explique por que funções contínuas são integráveis.
- Interprete fisicamente \(\int_0^T v(t) dt\) como deslocamento.
Checklist
- Defini partições e notação correta?
- Mostrei exemplo numérico de convergência?
- Liguei integral a interpretação geométrica/física?