Math

Seção 1 · Fundamentos de Funções

Classificação de Funções

Classificar funções facilita prever comportamentos e escolher técnicas de cálculo. Vamos organizar critérios para monotonicidade, paridade, injetividade, sobrejetividade e composição.

Objetivos de aprendizagem

  • Distinguir funções crescentes, decrescentes e constantes usando desigualdades.
  • Identificar paridade e testar simetrias com $$f(-x)$$.
  • Avaliar se uma função é injetora, sobrejetora ou bijetora e construir composições.

Conteúdo passo a passo

Crescente e decrescente

Dizemos que $$f$$ é crescente se $$x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \le f(x_2)$$ e decrescente quando a desigualdade inverte. Funções estritamente crescentes/decrescentes possuem desigualdade forte.

Gráfico sempre sobe ou desce conforme andamos no eixo x.

Paridade

Funções pares obedecem $$f(-x)=f(x)$$ e são simétricas em relação ao eixo y. Funções ímpares satisfazem $$f(-x)=-f(x)$$, apresentando simetria central na origem.

Exemplo par: $$f(x)=x^2$$ · Exemplo ímpar: $$g(x)=x^3$$

Injetora, sobrejetora, bijetora

Uma função é injetora se resultados diferentes nascem de entradas diferentes. É sobrejetora quando a imagem coincide com o contradomínio. Ao mesmo tempo injetora e sobrejetora ⇒ bijetora.

Teste da reta horizontal identifica injetividade em gráficos.

Composição e inversa

Compor funções significa aplicar uma dentro da outra: $$ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $$. Uma função só possui inversa quando é bijetora, permitindo inverter a regra para isolar x.

$$f^{-1}(f(x)) = x$$ sempre que a inversa existir.

Exemplos resolvidos

  1. Linear injetora

    Verifique se $$f(x)=2x+5$$ é crescente e injetora.

    Para $$x_1

  2. Paridade do valor absoluto

    Teste se $$g(x)=|x|$$ é par ou ímpar.

    Como $$g(-x)=|-x|=|x|=g(x)$$, a função é par.

  3. Composição simples

    Considere $$f(x)=x^2+1$$ e $$g(x)=\sqrt{x}$$ com $$x \ge 0$$. Calcule $$ (f \circ g)(x) $$.

    $$ (f \circ g)(x)=f(\sqrt{x}) = (\sqrt{x})^2 + 1 = x+1 $$, definida para $$x \ge 0$$.

Agora pratique

  • Classifique $$h(x)=-3x+2$$ quanto à monotonicidade e injetividade.
  • Decida se $$p(x)=x^4-x^2$$ é par, ímpar ou nenhuma das opções.
  • Encontre $$f^{-1}(x)$$ para $$f(x)=5x-7$$ e descreva seu domínio.

Teste rápido de inversa

  1. Verifique graficamente se nenhuma horizontal corta o gráfico em dois pontos.
  2. Troque $$x$$ por $$y$$ na expressão e resolva para $$x$$.
  3. Descreva o novo domínio (agora imagem da função original).

Checklist rápido

  • Consegui justificar cada classificação com desigualdades ou simetrias?
  • Se a função tiver inversa, declarei claramente o domínio?
  • Expliquei o comportamento usando tanto palavras quanto símbolos?