Seção 5 · Aplicações da Derivada
Concavidade e Pontos de Inflexão
Segunda derivada revela se o gráfico abraça o eixo x ou observa de longe. Quando o abraço troca de lado, surge a inflexão.
Objetivos
- Determinar a concavidade usando o sinal de f''(x).
- Encontrar candidatos a pontos de inflexão.
- Relacionar concavidade com comportamento de f'(x).
Guia prático
Concavidade
f''>0 ⇒ concavidade para cima, f''<0 ⇒ concavidade para baixo. Se f''=0, investigue mais.
Inflação vs inflexão
Um ponto é candidato quando f''(c)=0 ou não existe. Confirme se há mudança de sinal na vizinhança.
Relação com f'
Se f''>0, f' está crescendo (inclinações sobem). Se f''<0, f' decresce.
Exemplos
- f(x)=x^3-3x. f''=6x ⇒ concavidade positiva x>0 e negativa x<0. Inflexão em x=0.
- g(x)=x^4. f''=12x^2 ≥0 e só zera em x=0. Sem mudança de sinal ⇒ sem inflexão.
- Função racional: f(x)=\frac{x}{x^2+1}. Analise f'' e denominadores.
Pratique
- Determine concavidade de f(x)=\ln(x) para x>0.
- Localize inflexões de f(x)=x^5-5x.
- Explique por que |x| não possui inflexão.
Checklist
- Calculou f'' e tabelou sinal?
- Testou mudança de sinal para inflexão?
- Relatou o impacto em f'?