Math

Seção 2 · Limites

Conceito Intuitivo de Limite

Limites descrevem a tendência de uma função quando a variável se aproxima de um valor. Antes das definições formais, vamos usar tabelas e gráficos para sentir como os valores se comportam.

Objetivos de aprendizagem

  • Interpretar a notação $$\lim_{x \to a} f(x)=L$$ como uma previsão.
  • Construir tabelas que aproximam x por valores menores e maiores que a.
  • Relacionar o comportamento gráfico às conclusões numéricas.

Conteúdo passo a passo

Aproximações pela esquerda e direita

Escolha números próximos de $$a$$ vindos da esquerda (menores) e da direita (maiores). Se os valores de $$f(x)$$ convergem para o mesmo número, esse número é o limite.

$$x \to a^-$$ e $$x \to a^+$$

Tabelas e padrões

Liste pares (x, f(x)) com x cada vez mais próximo de a. Observe como os valores evoluem: estabilizam? explodem? oscilam? Essa pista orienta a resposta.

Tabela com x = a ± 10^{-n}

Interpretação gráfica

No gráfico, siga a curva em direção ao ponto x=a. Mesmo que o ponto esteja ``furado'', o caminho revela o valor procurado.

Limite = altura onde a curva encosta.

Exemplos resolvidos

  1. Limite polinomial

    Estime $$\lim_{x \to 2} (x^2-3x+1)$$.

    Calcule a função em valores próximos: 1,9 → -0,29; 1,99 → -0,0099; 2,01 → -0,0101; 2,1 → -0,29. Os valores se aproximam de 0, logo o limite é 0.

  2. Função com ponto removido

    Considere $$f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$$ para $$x \ne 1$$. Qual é o limite quando $$x \to 1$$?

    Simplificando obtemos $$f(x)=x+1$$ (exceto em x=1). Aproximando por ambos os lados, os valores tendem a 2 ⇒ limite 2, mesmo que o ponto não exista.

  3. Observando o gráfico

    Em um gráfico com buraco no ponto (3,5), a curva se aproxima da altura 5. Conclusão: o limite é 5.

Agora pratique

  • Monte uma tabela para $$f(x)=\sqrt{x+4}$$ aproximando x→5.
  • Desenhe um gráfico simples para $$f(x)=\dfrac{2x}{x-1}$$ e observe o que acontece perto de x=1.
  • Explique por escrito, sem contas, o que significa $$\lim_{x \to 0} f(x)=3$$.

Calculadora manual de limites

  1. Escolha quatro valores: dois menores que a e dois maiores.
  2. Calcule f(x) e compare.
  3. Se a tendência coincidir, declare o limite e registre se o ponto existe ou não.

Checklist rápido

  • Analisei as duas direções de aproximação?
  • Citei o valor aproximado mesmo que o ponto original não exista?
  • Usei pelo menos uma representação visual ou tabular?