Seção 5 · Aplicações da Derivada
Crescimento e Decrescimento
Se f'(x)>0 a função sobe; se f'(x)<0 ela desce. Parece simplista, mas rende tabelas poderosas.
Objetivos
- Construir tabelas de sinais para f'(x).
- Concluir em quais intervalos a função cresce ou decresce.
- Usar o estudo para justificar extremos e comportamento global.
Procedimento
- Calcule f'(x) e resolva f'=0; registre pontos críticos.
- Monte uma reta numérica com os críticos e teste o sinal de f' em cada intervalo.
- Traduza sinais em conclusões: positivo ⇒ crescente, negativo ⇒ decrescente.
Exemplos comentados
Polinômio cúbico
f(x)=x^3-6x. f'=3x^2-6 ⇒ x=±\sqrt{2}. Teste sinais para obter crescente/decrescente.
Função racional
g(x)=\frac{x+1}{x-2}. Analise f' e respeite pontos fora do domínio (x=2) na reta.
Funções com expoente
h(x)=e^{-x}\cos x. O sinal depende de combinação trigonométrica.
Pratique
- Construa a tabela de f'(x)=4x^3-12x.
- Determine onde \(f(x)=\ln(x^2+1)\) cresce.
- Analise f(x)=x^{2/3}(4-x) quanto ao sinal de f'.
Checklist
- Anotou todos os intervalos (incluindo indefinições)?
- Explicou como o sinal foi obtido?
- Conectou conclusões a extremos?