Seção 4 · Derivadas

Definição de Derivada

Use o limite da razão incremental para capturar a inclinação instantânea e transforme movimentos suaves em números com cara de futuro distópico.

Objetivos de aprendizagem

A derivada no ponto x existe quando o limite da razão incremental existe. Sem limite, sem derivada, sem festa.

$$f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

O segmento secante entre (x,f(x)) e (x+h,f(x+h)) vira a tangente quando h→0. Inclinação = derivada.

Se s(t) é posição, então v(t)=s'(t) é a velocidade instantânea. A derivada mede como algo muda agora.

f(x)=x^2

$$f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{2xh+h^2}{h}=2x.$$ O gráfico passa a ter tangentes com inclinação proporcional ao x.
Razão física

Se s(t)=4t^2, então velocidade v(t)=s'(t)=8t. No instante t=1, o corpo acelera com velocidade 8 unidades.
Caso sem derivada

f(x)=|x| não é derivável em 0 porque as razões incrementais pela esquerda e pela direita dão inclinações diferentes (−1 e 1).

Use a definição para derivar f(x)=3x^3−2x.
Mostre que $$f(x)=\sqrt{x}$$ tem f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} para x>0.
Descreva em texto por que a derivada representa velocidade instantânea no movimento retilíneo.