Math

Seção 3 · Continuidade

Definição Formal de Continuidade

Continuidade é um teste local: olhar com lupa para o ponto a e garantir que a função não tenha buracos, saltos ou teletransporte. Vamos traduzir a condição formal para passos práticos.

Objetivos de aprendizagem

  • Aplicar a condição tripla $$f(a)\text{ existe},\ \lim_{x \to a} f(x)\text{ existe},\ \lim = f(a).$$
  • Classificar descontinuidades em removível, salto e infinita.
  • Usar limites laterais para justificar falhas de continuidade.

Blocos essenciais

Condição tripla

Cheque em ordem: 1) f(a) está definida? 2) O limite existe (ambos os lados coincidem)? 3) Os valores são iguais? Se alguma etapa falhar, a função não é contínua em a.

$$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$

Tipos de descontinuidade

Removível: limite existe mas f(a) diferente. Salto: limites laterais distintos. Infinita: função explode.

Use limites laterais para identificar saltos.

Funções contínuas padrão

Polinômios, exponenciais, trigonométricas (sem restrições de domínio) são contínuas onde estão definidas. Quebre apenas quando combinar trechos.

Composições preservam continuidade.

Exemplos resolvidos

  1. Buraco removível

    Considere $$f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$$ para $$x\ne1$$ e defina $$f(1)=4$$. O limite em 1 vale 2, mas f(1)=4 ⇒ descontinuidade removível. Ajuste f(1) para 2 e tudo fica contínuo.

  2. Função por partes

    $$g(x)=\begin{cases}x+1,&x<0\\x^2,&x\ge0\end{cases}$$. Limites laterais em 0: esquerda 1, direita 0 ⇒ salto ⇒ não contínua.

  3. Explosão vertical

    $$h(x)=1/x$$ em a=0. f(a) não existe e o limite diverge ⇒ descontinuidade infinita.

Agora pratique

  • Classifique os pontos x=1 e x=2 de $$f(x)=\dfrac{x^2-3x+2}{x-2}$$ (defina f(2)=5).
  • Projete uma função por partes contínua em todos os pontos.
  • Explique por que polinômios são contínuos sem precisar de limite.

Detector manual de continuidade

  1. Substitua a para verificar se f(a) existe.
  2. Calcule o limite (ou limites laterais) em a.
  3. Compare resultados. Anote o tipo de descontinuidade caso falhe.

Checklist rápido

  • Listei claramente as três condições?
  • Identifiquei o tipo de descontinuidade e o motivo?
  • Mostrei como corrigir descontinuidades removíveis?