Seção 4 · Derivadas
Derivadas Exponenciais
Exponenciais são dramáticas: mudam proporcionalmente ao próprio valor. Vamos explorar por que e^x é a estrela do show.
Objetivos de aprendizagem
- Derivar e^x e e^{g(x)} rapidamente.
- Aplicar $$\frac{d}{dx} a^x = a^x \ln a$$ para bases gerais.
- Combinar exponenciais com outras funções via regra da cadeia.
Formulário essencial
Base e
\((e^x)' = e^x\). Para composições: \((e^{g(x)})' = e^{g(x)}·g'(x)\).
Base geral
Para a>0, \((a^x)' = a^x \ln a\). Combine com regra da cadeia quando o expoente não for x puro.
Modelos aplicados
Modelos de crescimento/decadência têm forma y(t)=Ce^{kt}. A derivada é ky(t), apontando taxa proporcional.
Exemplos resolvidos
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Simples
f(x)=e^{2x} ⇒ f'(x)=2e^{2x}.
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Base 3
g(x)=3^{x^2} ⇒ g'(x)=3^{x^2} \ln 3 · 2x.
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Decaimento
h(t)=50e^{-0,3t}. Então h'(t)= -0,3·50e^{-0,3t}. A taxa negativa revela decaimento.
Agora pratique
- Diferencie y=e^{\sin x}.
- Calcule \(\frac{d}{dx} 5^{\sqrt{x}}\).
- Explique o significado físico de k em y(t)=Ce^{kt} usando a derivada.
Dicas rápidas
- Base e preserva a função.
- Sempre multiplique por ln(a) quando a≠e.
- Lembre a cadeia: derive o expoente.
Checklist rápido
- Mostrei distinção entre e^x e a^x?
- Incluí exemplos com aplicações?
- Reforcei a necessidade de derivar o expoente?