Math

Seção 4 · Derivadas

Derivadas Hiperbólicas

As funções hiperbólicas são parentes exponenciais das trigonométricas. Derivar é quase copiar a tabela das trig, mas com sinais mais simpáticos.

Objetivos de aprendizagem

  • Recordar a definição de sinh, cosh e tanh.
  • Anotar as derivadas e identificar semelhanças com trigonométricas.
  • Aplicar resultados em modelos de cabos (catenária) e EDOs simples.

Tabela rápida

Definições

$$\sinh x = \frac{e^x-e^{-x}}{2}, \; \cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}{2}, \; \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}.$$

Derivadas

\((\sinh x)' = \cosh x, \; (\cosh x)' = \sinh x, \; (\tanh x)' = \text{sech}^2 x.\)

Identidades

\(\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\). Ajuda a simplificar resultados após derivar.

Exemplos resolvidos

  1. Catenária

    y=\cosh x ⇒ y'=\sinh x. A inclinação cresce exponencialmente.

  2. Composição

    f(x)=\sinh(3x) ⇒ f'=3\cosh(3x).

  3. Tanh

    g(x)=\tanh(x^2) ⇒ g' = \text{sech}^2(x^2)·2x.

Agora pratique

  • Derive y=\cosh(2x-1).
  • Mostre que \(\frac{d}{dx}\text{sech }x = -\text{sech }x \tanh x\).
  • Use identidades para simplificar \((\sinh^2 x)'\).

Checklist hiper

  • Transforme em exponenciais se travar.
  • Use cadeia quando o argumento não for x.
  • Lembre: cosh nunca é negativo.

Checklist rápido

  • Defini e comparei com trigonométricas?
  • Incluí composição e identidades?
  • Mostrei aplicações (catenária, EDO)?