Math

Seção 4 · Derivadas

Derivadas Implícitas

Quando x e y estão misturados demais para isolar, diferenciamos tudo ao mesmo tempo e apenas no final resolvemos para y'. Drama controlado.

Objetivos de aprendizagem

  • Diferenciar equações implícitas termo a termo.
  • Tratar y como função de x e multiplicar por y'.
  • Isolar dy/dx de forma organizada.

Procedimento

Diferencie tudo

Derive ambos os lados com respeito a x. Sempre que derivar y, aplique regra da cadeia: \(\frac{d}{dx}(y)=y'\).

Agrupe termos

Coloque todos os termos com y' no mesmo lado e fatorize para isolar y'.

Interpretação

O resultado descreve a inclinação da curva implícita no ponto (x,y) específico satisfazendo a equação.

Exemplos resolvidos

  1. Circunferência

    x^2 + y^2 = 25 ⇒ 2x + 2y·y' = 0 ⇒ y' = -x/y.

  2. Exponencial implícita

    e^{xy} = x + y. Diferenciando: e^{xy}(y + x y') = 1 + y'. Resolva para y'.

  3. Equação complicada

    x^3 + y^3 = 6xy. Derivando: 3x^2 + 3y^2 y' = 6y + 6x y'. Agrupe e isole y'.

Agora pratique

  • Encontre y' para \(\sin(x+y)=xy\).
  • Calcule a inclinação da curva x^2y + y^2 = 7 no ponto (1,2).
  • Mostre que a derivada implícita de x^2 + xy + y^2 = 1 é \(y' = \frac{-2x - y}{x + 2y}\).

Roteiro express

  1. Derive ambos os lados.
  2. Agrupe termos com y'.
  3. Fatorize y' e resolva.

Checklist rápido

  • Indiquei claramente onde surge y'?
  • Mostrei etapas de isolamento?
  • Incluí exemplos com substituição de pontos?