Seção 4 · Derivadas
Derivadas das Inversas Trigonométricas
Quando as funções trig querem voltar no tempo, surgem arcsin, arctan, etc. Cada uma traz domínio limitado e derivadas com raízes.
Objetivos de aprendizagem
- Memorizar as fórmulas das inversas principais.
- Aplicar regra da cadeia com segurança.
- Relacionar derivadas com triângulos auxiliares.
Tabela de referência
Principais
$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},$$ $$\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}.$$
Restantes
$$\frac{d}{dx}\text{arccot }x = -\frac{1}{1+x^2},$$ $$\frac{d}{dx}\text{arcsec }x = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}},$$ $$\frac{d}{dx}\text{arccsc }x = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$
Domínios
Arcsin/arccos: |x|≤1. Arcsec/arccsc: |x|≥1. Sempre use grafite vermelho para alertar.
Exemplos resolvidos
-
Arcsin composto
f(x)=\arcsin(2x-1). Resultado: f'(x)=\frac{2}{\sqrt{1-(2x-1)^2}}.
-
Arcsec
g(x)=\text{arcsec}(3x). g'(x)=\frac{3}{|3x|\sqrt{(3x)^2-1}}.
-
Triângulo auxiliar
Para y=\arctan(x^2), use cadeia: y'=\frac{1}{1+(x^2)^2}·2x = \frac{2x}{1+x^4}.
Agora pratique
- Derive y=\arccos(\sqrt{x}).
- Mostre que \(\frac{d}{dx}\arccot x = -\frac{1}{1+x^2}\).
- Monte um triângulo para interpretar y'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
Checklist inverso
- Domínio respeitado?
- Valor absoluto aplicado quando necessário?
- Derivada interna multiplicada?
Checklist rápido
- Tabela inclui todas as inversas?
- Mencionei domínios e valores absolutos?
- Mostrei pelo menos um uso de triângulo auxiliar?