Seção 4 · Derivadas
Derivadas Logarítmicas
Logs são o lado sarcástico das exponenciais. Eles cortam multiplicações, mas cobram caro em domínios. Aqui está seu guia completo.
Objetivos de aprendizagem
- Derivar ln x e ln(g(x)).
- Aplicar \(\frac{d}{dx} \log_a x = \frac{1}{x \ln a}\).
- Usar derivação logarítmica para produtos e potências variáveis.
Ferramentas
Derivada básica
\((\ln x)' = \frac{1}{x}\) para x>0. Com composição: \((\ln g(x))' = \frac{g'(x)}{g(x)}\).
Base geral
\((\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}\). Lembre que a deve ser positiva e diferente de 1.
Derivação logarítmica
Tome ln dos dois lados, use propriedades logarítmicas para quebrar produtos e potências, derive e multiplique de volta por y.
Exemplos resolvidos
-
Composição simples
f(x)=\ln(3x^2+1) ⇒ f'(x)=\frac{6x}{3x^2+1}.
-
Base 10
g(x)=\log_{10} x ⇒ g'(x)=\frac{1}{x \ln 10}.
-
Derivação logarítmica
y=x^x. Tome ln: ln y = x ln x. Derive: y'/y = ln x + 1 ⇒ y'=x^x(\ln x +1).
Agora pratique
- Derive y=\ln(\sin x) em seu domínio.
- Aplique derivação logarítmica para y=\frac{(3x-1)^5}{(x^2+1)^3}.
- Mostre que y=x^{\sqrt{x}} tem derivada y'=x^{\sqrt{x}}\left(\frac{\sqrt{x}}{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\ln x\right).
Checklist log
- Domínio positivo sempre?
- Separou produtos antes de derivar?
- Multiplicou novamente por y ao final?
Checklist rápido
- Incluí todas as bases relevantes?
- Expliquei derivação logarítmica passo a passo?
- Mostrei aplicações com potências variáveis?