Seção 4 · Derivadas

Derivadas de Ordem Superior

Quando a primeira derivada não basta, chamamos reforços: f'' para concavidade, f''' para mudanças de concavidade e assim por diante.

Objetivos de aprendizagem

Usar as notações f''(x), d^2y/dx^2 e f^{(n)}(x).
Calcular segundas e terceiras derivadas de funções comuns.
Interpretar fisicamente (aceleração) e geometricamente (concavidade).

Conceitos chave

Notação

f''(x)=\(\frac{d}{dx}(f'(x))\), d^2y/dx^2 e f^{(n)}(x) para ordem n. Em física usamos \(\ddot{x}\) para segunda derivada no tempo.

Concavidade

f''>0 ⇒ concavidade para cima; f''<0 ⇒ concavidade para baixo. Pontos onde f'' muda de sinal são candidatos a inflexão.

Aplicações físicas

Se s(t) é posição, então v=s' e a=s''. A terceira derivada (jerk) mede variação da aceleração.

Exemplos resolvidos

Polinômio

f(x)=x^4-2x^2. f'=4x^3-4x, f''=12x^2-4. Indique concavidade.
Exponencial

g(x)=e^{2x}. g'=2e^{2x}, g''=4e^{2x}, g^{(n)}=2^n e^{2x}.
Movimento

s(t)=5t^3-3t. v(t)=15t^2-3, a(t)=30t. Interprete no instante t=1.

Agora pratique

Encontre f'' e f''' de f(x)=\sin x.
Determine pontos de inflexão de y=x^3-3x.
Descreva fisicamente s(t)=10e^{-t} como posição.

Checklist

Reaplique regras básicas quantas vezes forem necessárias.
Avalie sinais de f'' para concavidade.
Conecte cada ordem a um significado (velocidade, aceleração... ).

Checklist rápido

Mostrei notações equivalentes?
Relacionei concavidade com sinais?
Incluí aplicação física?