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Seção 4 · Derivadas

Derivadas Polinomiais

Polinômios são dóceis: basta aplicar a regra da potência termo a termo e interpretar o resultado em termos de inclinação.

Objetivos de aprendizagem

  • Aplicar a regra da potência em polinômios de qualquer grau.
  • Montar tabelas de derivadas para estudo rápido.
  • Relacionar coeficientes com comportamento do gráfico.

Receita termo a termo

Regra geral

Para f(x)=\(\sum a_n x^n\), derivamos cada termo: f'(x)=\(\sum n a_n x^{n-1}\). Constantes somem.

Polinômios deslocados

Use substituição u=x-c quando a expressão vem como (x-c)^n. Afinal, é potência deslocada.

Interpretação

f'(x)=0 identifica candidatos a máximos/mínimos. Polinômios derivam para polinômios de grau menor.

Exemplos resolvidos

  1. Cúbica clássica

    f(x)=2x^3-5x^2+3x-4 ⇒ f'(x)=6x^2-10x+3.

  2. Potência deslocada

    g(x)=(x-1)^4 ⇒ g'=4(x-1)^3.

  3. Série curta

    h(x)=7-4x+0,5x^2-0,1x^3 ⇒ h'= -4 + x -0,3x^2.

Agora pratique

  • Derive p(x)=6x^5-2x^2+1.
  • Calcule p'(2) e interprete como inclinação.
  • Encontre pontos críticos de q(x)=x^4-4x^2.

Quadro-resumo

  • Constante → 0
  • x^n → nx^{n-1}
  • Coeficientes são preservados.

Checklist rápido

  • Organizei termos antes de derivar?
  • Expliquei a redução de grau?
  • Apresentei usos para f'(x)=0?