Seção 4 · Derivadas
Derivadas Racionais
Quocientes de polinômios exigem atenção ao domínio e à famigerada regra do quociente. Neste episódio: como errar menos sinais.
Objetivos de aprendizagem
- Aplicar a regra do quociente de forma organizada.
- Checar e comunicar restrições de domínio.
- Interpretar assíntotas e crescimento usando f'.
Estratégias
Regra aplicada
Escreva numerador N(x) e denominador D(x). Depois use $$\frac{N'D-ND'}{D^2}$$ mantendo D(x)≠0.
Fatoração prévia
Antes de derivar, simplifique fatores comuns para evitar expressões gigantes e cancelar pontos removíveis.
Assíntotas
Zeros do denominador continuam relevantes após derivar. Marque-os para sinalizar descontinuidades.
Exemplos resolvidos
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Função simples
f(x)=\(\frac{2x+1}{x-3}\) ⇒ f' = \(\frac{2(x-3)-(2x+1)}{(x-3)^2} = \frac{-7}{(x-3)^2}\).
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Racional quadrático
g(x)=\(\frac{x^2+1}{x^2-1}\). Resultado: $$g'(x)=\frac{2x(x^2-1)-(x^2+1)2x}{(x^2-1)^2}=\frac{-4x}{(x^2-1)^2}.$$
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Simplificação
h(x)=\(\frac{x^2-1}{x-1}\). Simplifique para x+1 (com x≠1) e derive h' = 1.
Agora pratique
- Derive p(x)=\frac{3x^2-4}{x^3+1}.
- Identifique pontos onde p'(x) não existe.
- Analise sinais de q'(x)=\left(\frac{x}{x+2}\right)' para x>-2.
Checklist racional
- Nomeie N e D antes de derivar.
- Sinalize D(x)=0 no resultado.
- Simplifique fatores comuns no fim.
Checklist rápido
- Apresentei domínio e restrições?
- Mostrei técnicas de simplificação?
- Relacionei f' com comportamento assintótico?