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Seção 4 · Derivadas

Derivadas Trigonométricas

Trigonometria e derivada se amam secretamente: sen vira cos, cos vira −sen e o caos prospera com tangente e companhia.

Objetivos de aprendizagem

  • Memorizar as derivadas de sen, cos, tan, cot, sec e cosec.
  • Combinar trigonometria com regra da cadeia.
  • Simplificar expressões usando identidades.

Tabela essencial

Funções primárias

$$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \quad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$$ e $$\frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x.$$

Funções derivadas

$$\frac{d}{dx}\cot x = -\csc^2 x, \; \frac{d}{dx}\sec x = \sec x \tan x, \; \frac{d}{dx}\csc x = -\csc x \cot x.$$

Cadeia trig

Para \(\sin(g(x))\), multiplique por g'(x). Sempre indique o domínio das funções usadas.

Exemplos resolvidos

  1. Composição

    f(x)=\sin(2x+1) ⇒ f'=(\cos(2x+1))·2.

  2. Tangente

    g(x)=\tan^2 x ⇒ g'=2\tan x·\sec^2 x.

  3. Secante com produto

    h(x)=x·\sec x ⇒ h'=\sec x + x·\sec x \tan x.

Agora pratique

  • Derive y=\cos(\sqrt{x}).
  • Mostre que \(\frac{d}{dx}\sin x \cos x = \cos 2x\).
  • Resolva \(y'=0\) para y=\sin x + \cos x.

Mnemônicos

  • sen ↔ cos, cos ↔ −sen.
  • tan e sec sempre aparecem em pares.
  • cot e csc levam sinais negativos.

Checklist rápido

  • Listei todas as funções trig básicas?
  • Usei identidades para simplificar resultados?
  • Citei domínios e pontos proibidos?