Math

Seção 2 · Limites

Formas Indeterminadas

Alguns limites não podem ser resolvidos apenas com substituição direta. Quando aparece 0/0, ∞/∞ ou outras combinações, precisamos alterar a expressão para revelar o valor real.

Objetivos de aprendizagem

  • Reconhecer as principais formas indeterminadas.
  • Escolher técnicas como fatoração, racionalização ou conjugados.
  • Preparar-se para o uso futuro da Regra de L'Hôpital.

Tipos mais comuns

0/0

Indica que numerador e denominador zeram ao mesmo tempo. Simplifique a expressão para descobrir o valor escondido.

Fatorar ou usar conjugado.

∞/∞ e 0·∞

Compare os termos de maior grau ou transforme o produto em divisão para decidir quem domina.

Reescreva 0·∞ como fração.

∞-∞ e 1^∞

Nesses casos, reorganize a expressão, coloque em fator comum ou use logaritmos para tratar potências futuras.

Converter em produto ou razão auxilia.

Exemplos resolvidos

  1. Fatoração de 0/0

    $$\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2-9}{x-3}$$.

    Fatore $$x^2-9=(x-3)(x+3)$$. Cancele (x-3) → limite = 6.

  2. Racionalização

    $$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}$$.

    Multiplique pelo conjugado e simplifique: resultado = $$\dfrac{1}{4}$$.

  3. Divisão de ∞/∞

    $$\lim_{x \to \infty} \dfrac{4x^2+1}{2x^2-5x} = 2$$ após dividir tudo por $$x^2$$.

    Comparar graus elimina a indeterminação.

Agora pratique

  • Resolva $$\lim_{x \to 1} \dfrac{x^3-1}{x-1}$$ por fatoração.
  • Transforme $$0·\infty$$ em fração e calcule o limite de $$x\cdot \dfrac{1}{\ln x}$$ quando x→1^+.
  • Pesquise outra forma indeterminada (como $$0^0$$) e descreva como será tratada.

Roteiro de resolução

  1. Substitua para identificar a forma.
  2. Escolha a técnica adequada (fatoração, conjugado, divisão).
  3. Refaça o limite com a expressão simplificada.

Checklist rápido

  • Identifiquei a forma indeterminada explicitamente?
  • Escolhi uma técnica que respeita o domínio?
  • Reavaliei o limite depois de simplificar?