Math

Seção 1 · Fundamentos de Funções

Funções: Definição e Fundamentos

Funções conectam cada elemento de um conjunto de entrada a exatamente um elemento de saída. Nesta aula revisitamos a definição formal e treinamos como transitar entre diferentes formas de registro.

Objetivos de aprendizagem

  • Interpretar a notação $$f: A \to B$$ e o significado de $$f(x)$$.
  • Determinar domínio, contradomínio e imagem em exemplos reais.
  • Converter uma função entre expressão algébrica, tabela, diagrama e gráfico cartesiano.

Conteúdo passo a passo

Função como relação

Uma função liga conjuntos: para cada $$x \in A$$ existe um único $$f(x) \in B$$. Relações que repetem saídas permitidas, mas jamais podem associar o mesmo x a resultados diferentes.

$$f: A \longrightarrow B,\; x \mapsto f(x)$$

Domínio, contradomínio e imagem

O domínio reúne as entradas autorizadas, o contradomínio descreve o universo de possíveis saídas e a imagem guarda apenas os valores realmente produzidos.

Imagem $$= \{ f(x) \mid x \in Dom(f) \}$$

Representações complementares

Mapas de setas evidenciam ligações, tabelas mostram pares ordenados, expressões dão regras rápidas e gráficos revelam tendências geométricas.

Par ordenado $$ (x, f(x)) $$

Exemplos resolvidos

  1. Linear simples

    Para $$f(x)=3x+1$$ calcule $$f(-2)$$ e $$f(4)$$.

    Solução: $$f(-2)=3(-2)+1=-5$$ e $$f(4)=13$$. Cada entrada possui uma única saída.

  2. Domínio por restrição

    Determine o domínio de $$g(x)=\sqrt{x-1}$$.

    Dentro da raiz precisamos de $$x-1 \ge 0$$, logo $$Dom(g) = [1, +\infty)$$.

  3. Tabela para gráfico

    Complete a tabela de $$h(x)=\dfrac{1}{x}$$ para $$x=-2,-1,1,2$$ e interprete o comportamento.

    Os valores são $$-0{,}5, -1, 1, 0{,}5$$. Observamos simetria em relação ao eixo y e duas ramificações quando representado.

Agora pratique

  • Liste domínio e imagem de $$f(x)=|x|-2$$.
  • Construa o diagrama de setas para a função que associa cada número natural ao seu dobro.
  • Transforme a função $$p(x)=x^2+1$$ em tabela e gráfico no intervalo $$[-2,2]$$.

Mini roteiro para avaliar $$f(x)$$

  1. Verifique se o valor de x respeita restrições de domínio.
  2. Substitua x na expressão com cuidado com parênteses.
  3. Organize o resultado na forma de par ordenado para reutilizar em tabelas ou gráficos.

Checklist rápido

  • Cada entrada possui uma única saída?
  • Domínio e imagem estão descritos explicitamente?
  • Posso apresentar a função em pelo menos duas representações diferentes?