Math

Seção 1 · Fundamentos de Funções

Funções Importantes para o Cálculo

Essas famílias de funções reaparecem em todos os tópicos do curso. Conheça suas principais propriedades e como elas se comportam antes de aplicar limites e derivadas.

Objetivos de aprendizagem

  • Diferenciar polinomiais e racionais analisando graus e restrições.
  • Reconhecer curvas exponenciais e logarítmicas e sua relação de inversa.
  • Descrever funções trigonométricas e modelos definidos por partes.

Conteúdo passo a passo

Polinomiais e racionais

Polinomiais são somas de potências inteiras de x: $$P(x)=a_nx^n+\cdots+a_0$$. Racionais resultam do quociente de dois polinômios e apresentam restrições quando o denominador zera.

Domínio racional: $$\{x \mid Q(x) \ne 0\}$$

Exponenciais e logarítmicas

Exponenciais têm a forma $$a^x$$ com $$a>0, a\ne1$$ e crescem (ou decrescem) de modo acelerado. Logarítmicas são as inversas: $$y=\log_a x$$ implica $$a^y=x$$.

$$\log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a}$$

Trigonométricas

Funções como $$\sin x, \cos x, \tan x$$ descrevem fenômenos periódicos. Possuem amplitudes, períodos e deslocamentos que podemos ajustar facilmente.

Período padrão: $$2\pi$$ para seno e cosseno.

Funções definidas por partes

Usadas quando o comportamento muda em faixas de x. Declaramos várias regras, cada uma com seu intervalo, e mantemos a unidade da função descrevendo os pontos de fronteira.

$$f(x)=\begin{cases} x^2,& x\ge0 \\ -x,& x<0 \end{cases}$$

Exemplos resolvidos

  1. Racional e assíntotas

    Para $$f(x)=\dfrac{x+1}{x-2}$$ identifique domínio e assíntota vertical.

    O denominador zera em $$x=2$$ ⇒ domínio exclui esse ponto. Há assíntota vertical em $$x=2$$.

  2. Exponencial vs logaritmo

    Mostre que $$2^x$$ e $$\log_2 x$$ são inversos.

    Se $$y=2^x$$ então $$x=\log_2 y$$. Os gráficos são espelhados pela reta $$y=x$$.

  3. Função em partes

    Para $$f(x)=\begin{cases}x+2,& x\le 0\\x^2,& x>0\end{cases}$$ calcule $$f(-1)$$ e $$f(2)$$.

    $$f(-1)=-1+2=1$$ e $$f(2)=4$$.

Agora pratique

  • Classifique $$p(x)=4x^3-2x+7$$ e descreva seu grau.
  • Determine a imagem de $$g(x)=3^x$$ para $$x \in \mathbb{R}$$.
  • Monte uma função definida por partes que represente uma tarifa que muda após 2 horas.

Checklist por família

  1. Identifique domínio e imagem típicos.
  2. Marque pontos especiais (raízes, interceptos, assíntotas).
  3. Lembre das inversas naturais (expo/log, seno/arco-seno etc.).

Checklist rápido

  • Indiquei restrições sempre que aparecia divisão ou raiz?
  • Quando houver inversa, citei a relação com a função original?
  • Consegui associar cada família a uma aplicação prática?