Math

Seção 1 · Fundamentos de Funções

Gráficos de Funções

Compreender como curvas reagem a deslocamentos e reflexões permite desenhar gráficos sem depender de calculadoras. Vamos montar um vocabulário visual que acompanha todas as próximas aulas.

Objetivos de aprendizagem

  • Aplicar translações verticais e horizontais em gráficos conhecidos.
  • Reconhecer efeitos de reflexões e alongamentos em $$f(x)$$.
  • Diferenciar gráficos lineares, quadráticos, exponenciais, logarítmicos e trigonométricos.

Conteúdo passo a passo

Translações

Adicionar $$c$$ desloca o gráfico verticalmente: $$f(x)+c$$ sobe (ou desce) c unidades. Já $$f(x-c)$$ desloca para a direita, enquanto $$f(x+c)$$ vai para a esquerda.

Transformação: $$y=f(x) \mapsto y=f(x)+c$$

Reflexões e alongamentos

Multiplicar a função por -1 reflete no eixo x: $$-f(x)$$. Substituir x por -x reflete no eixo y: $$f(-x)$$. Fatores maiores que 1 alongam; frações comprimem.

Alongamento vertical: $$y=a\cdot f(x)$$

Gráficos fundamentais

Linhas (funções lineares) possuem inclinação constante. Paráb o las representam quadráticas. Exponenciais crescem rápido, logarítmicas crescem lentamente e trigonométricas repetem padrões periódicos.

Referência: $$y=x^2, y=2^x, y=\ln x, y=\sin x$$

Construção passo a passo

Comece desenhando o gráfico base. Depois aplique transformações em ordem: escale, reflita, translate. Registrar dois ou três pontos ajuda a checar o resultado final.

Sequência: base → escala → reflexão → translação.

Exemplos resolvidos

  1. Parábola deslocada

    Desenhe $$y=(x-2)^2+3$$ a partir de $$y=x^2$$.

    Mover para a direita 2 unidades (por causa de $$x-2$$) e para cima 3 unidades (somando 3). O formato não muda.

  2. Reflexão de valor absoluto

    Represente $$y=-|x|+4$$.

    Comece com o ``V'' de $$|x|$$. Multiplicar por -1 vira o V para baixo e +4 sobe tudo 4 unidades.

  3. Exponencial comprimida

    Compare $$y=2^{x}$$ com $$y=2^{x/2}$$.

    Substituir x por x/2 alarga o gráfico horizontalmente: precisa de dobro da distância no eixo x para atingir o mesmo valor.

Agora pratique

  • Esboce $$y=-(x+1)^2+2$$.
  • Mostre como obter $$y=3\sin(2x)$$ a partir de $$y=\sin x$$.
  • Construa $$y=\log(x-1)$$ indicando o deslocamento da assíntota.

Roteiro de esboço

  1. Anote o gráfico base conhecido.
  2. Identifique multiplicadores (escala) e sinais (reflexões).
  3. Por fim, trate dos deslocamentos horizontais e verticais.

Checklist rápido

  • Localizei vértices, interceptos ou assíntotas?
  • Expliquei cada transformação com palavras e símbolos?
  • Verifiquei pelo menos dois pontos para confirmar o desenho?