Math

Seção 2 · Limites

Limites Infinitos

Quando x se aproxima de um valor e a função cresce sem limites, dizemos que o limite é infinito. Esses casos apontam para assíntotas verticais e ajudam a entender restrições do domínio.

Objetivos de aprendizagem

  • Identificar explosões para +∞ e -∞ em pontos finitos.
  • Relacionar limites infinitos com assíntotas verticais.
  • Usar sinais do numerador e denominador para prever o resultado.

Como detectar assíntotas verticais

Denominador zero

Se $$g(a)=0$$ e o numerador não zera, a fração tende a explodir. Analise o sinal de cada lado.

$$\lim_{x \to a} \dfrac{1}{(x-a)^n}$$ → infinito

Potências pares e ímpares

Potências pares deixam o resultado sempre positivo; ímpares acompanham o sinal de x-a.

$$\dfrac{1}{(x-a)^2}$$ → +∞ em ambos os lados.

Logaritmos e funções especiais

Funções como $$\ln x$$ explodem ao se aproximar de seus limites de domínio (ex.: x→0^+).

$$\lim_{x \to 0^+} \ln x=-\infty$$

Exemplos resolvidos

  1. Função racional simples

    $$\lim_{x \to 2} \dfrac{1}{x-2}$$.

    Esquerda → -∞, direita → +∞. Resultado: limite infinito divergente e assíntota vertical em x=2.

  2. Potência par no denominador

    $$\lim_{x \to 3} \dfrac{5}{(x-3)^2} = +\infty$$ nos dois lados.

    A função cresce sem sinal negativo porque o quadrado é sempre positivo.

  3. Logaritmo natural

    $$\lim_{x \to 0^+} \ln x=-\infty$$, indicando que o gráfico desce indefinidamente perto do eixo y.

    Esse limite mostra o comportamento da função antes de alcançar o domínio negativo (que não existe).

Agora pratique

  • Analise o sinal do limite $$\lim_{x \to 1^-} \dfrac{x+2}{(x-1)^3}$$ e do limite pela direita.
  • Esboce a assíntota vertical de $$f(x)=\dfrac{2}{x^2-9}$$.
  • Investigue o comportamento de $$\tan x$$ próximo a $$x=\dfrac{\pi}{2}$$.

Guia de sinais

  1. Identifique o ponto que zera o denominador.
  2. Escolha valores um pouco menores e maiores para ver o sinal.
  3. Conclua se cada lado explode para +∞ ou -∞ e registre no gráfico.

Checklist rápido

  • Pontuei onde o denominador zera?
  • Examinei sinais separados para cada lado?
  • Indiquei a assíntota vertical correspondente?