Seção 2 · Limites
Limites no Infinito
Em vez de aproximar x de um número, deixamos x correr para valores gigantes positivos ou negativos. O limite revela se a função estabiliza, explode ou oscila.
Objetivos de aprendizagem
- Interpretar $$\lim_{x \to \infty} f(x)$$ e $$\lim_{x \to -\infty} f(x)$$.
- Relacionar limites no infinito com assíntotas horizontais.
- Usar razões entre termos dominantes em polinômios e racionais.
Ferramentas principais
Termo dominante
Em polinômios, o termo de maior grau vence quando x cresce. Use-o para prever o sinal e o comportamento.
Se $$f(x)=ax^n+\dots$$, então $$f(x)\approx ax^n$$
Funções racionais
Compare graus do numerador e denominador: numerador menor → limite 0; iguais → razão dos coeficientes; maior → ±∞.
Assíntota horizontal aparece quando graus são iguais.
Sinais opostos
Para $$x \to -\infty$$, lembre-se de como potências ímpares trocam sinal. Isso altera o limite final.
$$(-\infty)^3=-\infty$$ mas $$(-\infty)^2=+\infty$$
Exemplos resolvidos
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Polinômio dominante
$$\lim_{x \to \infty} (5x^3 - 2x + 1)$$.
O termo 5x^3 domina → limite diverge para +∞.
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Função racional com mesma ordem
$$\lim_{x \to -\infty} \dfrac{3x^2+4}{6x^2-1}$$.
Divida pelos termos de maior grau: resultado tende a $$\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$$.
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Decaimento inverso
$$\lim_{x \to \infty} \dfrac{7}{x}$$ = 0, porque o denominador cresce sem parar.
Concluímos que y=0 é assíntota horizontal.
Agora pratique
- Determine o comportamento de $$f(x)=\dfrac{x^3-1}{2x^2+5}$$ quando x → ±∞.
- Descubra se $$y=4$$ é assíntota de $$g(x)=\dfrac{8x+1}{2x}$$.
- Pesquise um gráfico com assíntotas horizontais e descreva o que acontece fora da tela.
Comparador de graus
- Identifique graus do numerador e denominador.
- Se iguais → razão de coeficientes principais.
- Se numerador menor → limite 0; se maior → ±∞.
Checklist rápido
- Comparei graus antes de manipular termos?
- Conferi o sinal para x → -∞?
- Registrei a existência (ou não) de assíntota horizontal?