Seção 2 · Limites
Limites de Sequências
Sequências são listas ordenadas de números. Assim como funções, elas podem se aproximar de um valor conforme o índice cresce. Vamos classificar comportamentos e relacionar com limites.
Objetivos de aprendizagem
- Definir convergência: $$\lim_{n \to \infty} a_n = L$$.
- Distinguir sequências divergentes e oscilantes.
- Aplicar técnicas de comparação e álgebra para descobrir limites.
Tipos de comportamento
Convergentes
A sequência se aproxima de L e permanece arbitrariamente perto depois de certo índice.
Ex.: $$a_n = \dfrac{1}{n} \to 0$$
Divergentes
Valores crescem sem barreira ou não estabilizam em ponto algum.
Ex.: $$b_n = n$$ → +∞.
Oscilantes
Saltam entre valores diferentes sem tendência única (ex.: (-1)^n).
Não possuem limite.
Exemplos resolvidos
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Sequência racional
$$a_n = \dfrac{5n+1}{2n-3}$$.
Divida tudo por n: limite = 5/2.
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Divergência evidente
$$b_n = (-1)^n n$$ cresce em módulo e alterna sinais → diverge.
O módulo vai para ∞, logo não converge.
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Sequência oscilante limitada
$$c_n = (-1)^n$$ não tem limite por alternar entre -1 e 1.
Não existe L que satisfaça a definição.
Agora pratique
- Determine se $$a_n = \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$$ converge. (pista: tende a e).
- Verifique o limite de $$a_n=\dfrac{3n^2+1}{n^2-2}$$.
- Classifique $$a_n=\cos n$$: converge? oscila? por quê?
Diagnóstico rápido
- Observe os primeiros termos para sentir o padrão.
- Use álgebra semelhante a limites no infinito (dividir pelo maior grau).
- Se o termo geral envolve seno/cosseno, pense em confronto.
Checklist rápido
- Analisei o termo geral antes de gerar números?
- Decidi se a sequência é limitada ou explode?
- Anotei o limite (ou expliquei por que não existe)?