Seção 2 · Limites
Limites Trigonométricos Notáveis
Alguns limites com seno, cosseno e tangente são tão frequentes que viraram fórmulas de bolso. Entenda de onde vêm e como aplicá-los para simplificar exercícios.
Objetivos de aprendizagem
- Memorizar os limites $$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}=1$$ e $$\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x}=1$$.
- Usar identidades trigonométricas para adaptar argumentos diferentes de x.
- Aplicar $$1-\cos x\approx \dfrac{x^2}{2}$$ em limites com diferenças de cosseno.
Fórmulas principais
Seno sobre x
Para ângulos em radianos, $$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}=1$$. Substitua x por qualquer expressão u(x) que também vá a 0.
Se $$u(x) \to 0$$, então $$\dfrac{\sin u(x)}{u(x)} \to 1$$.
Tangente sobre x
Usando $$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$$, obtemos $$\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x}=1$$, pois o cosseno se aproxima de 1.
Cuidado: precisa estar em radianos.
Diferença de cossenos
Para x pequeno, $$1-\cos x \approx \dfrac{x^2}{2}$$. Use identidades para adaptar quando aparecer $$\cos (ax)$$.
$$\lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac{1}{2}$$.
Exemplos resolvidos
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Argumento diferente
$$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(3x)}{x}$$.
Multiplique e divida por 3: $$3 \cdot \dfrac{\sin(3x)}{3x}→3$$.
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Diferença de senos
$$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x - \sin 2x}{x}$$.
Use identidades e divida o limite em duas partes, aplicando o resultado notável.
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Diferença de cossenos
$$\lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos (5x)}{x^2} = \dfrac{25}{2}$$ após fatorar $$5x$$.
Substitua u=5x e use o limite padrão.
Agora pratique
- Mostre que $$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(ax)}{ax}=1$$ para qualquer constante a.
- Resolva $$\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan(2x)}{x}$$.
- Explique por que é obrigatório usar radianos nesses limites.
Minicheatsheet
- Transforme qualquer argumento diferente em u(x).
- Multiplique/divida para encaixar nas fórmulas.
- Substitua identidades trigonométricas se necessário.
Checklist rápido
- Conferi se os ângulos estão em radianos?
- Reescrevi o limite na forma padrão antes de concluir?
- Justifiquei cada manipulação com identidades trigonométricas?