Seção 5 · Aplicações da Derivada
Máximos e Mínimos
Primeiro passo do estudo de gráficos: encontrar onde a função atinge picos ou vales usando f' e um pouco de interpretação.
Objetivos
- Localizar pontos críticos resolvendo f'(x)=0 ou detectando onde f' não existe.
- Diferenciar extremos locais de globais.
- Conectar análise algébrica ao comportamento gráfico.
Mapa mental rápido
Pontos críticos
Resolva f'(x)=0 ou detecte onde f' não existe. Inclua extremos no domínio aberto e verifique bordas se o intervalo for fechado.
Critério gráfico
Máximo local: f' muda de positivo para negativo. Mínimo local: negativo para positivo.
Extremos absolutos
Compare valores da função em todos os candidatos (críticos + fronteiras). O maior é máximo global, o menor é mínimo global.
Exemplos
- f(x)=x^3-3x. f'=3x^2-3 ⇒ x=±1. Analise sinais e descreva máximos/mínimos.
- g(x)=2x^4-x^2. f'=8x^3-2x ⇒ x=0, ±1/2. Compare valores para extremos absolutos.
- Intervalo fechado. f(x)=x+\frac{4}{x} em [1,4]. Avalie críticos internos e bordas.
Pratique
- Determine todos os extremos de f(x)=x^5-5x^3.
- Encontre máximo global de f(x)=\cos x em [0,2\pi].
- Analise h(x)=\sqrt[3]{x} quanto a extremos.
Checklist
- Listou todos os candidatos (inclua bordas)?
- Decidiu máximo/mínimo comparando valores de f?
- Justificou com sinal de f' ou argumento gráfico?