Seção 3 · Continuidade

Propriedades da Continuidade

Depois de dominar o teste local, precisamos de regras para construir funções maiores. Felizmente, a continuidade se comporta bem sob operações básicas.

Objetivos de aprendizagem

Aplicar regras de soma, produto, quociente e potência para funções contínuas.
Analisar continuidade de composições $$f(g(x))$$ e inversas.
Reconhecer quando o quociente falha (denominador nulo).

Regras em destaque

Operações algébricas

Se f e g são contínuas em a, então f±g, c·f e f·g também são. Para o quociente, basta garantir $$g(a) \ne 0$$.

$$\lim (f·g) = (\lim f)(\lim g)$$

Composição e inversa

Se g é contínua em a e f é contínua em g(a), então $$f \circ g$$ é contínua em a. Funções inversas preservam continuidade onde existirem.

$$h(x)=f(g(x))$$ herda continuidade.

Funções padrão

Polinômios, exponenciais, trigonométricas e logarítmicas são contínuas em seus domínios naturais. Use-as como blocos seguros.

Domínio define onde a regra vale.

Exemplos resolvidos

Soma de contínuas

Se $$f(x)=x^2$$ e $$g(x)=\sin x$$, então $$f(x)+g(x)$$ é contínua em todo $\mathbb{R}$ porque ambos os blocos são.
Quociente com restrição

$$h(x)=\dfrac{\ln(x+3)}{x-1}$$ é contínua para x≠1, pois ln é contínua em x>-3 e o denominador só falha em 1.
Composição

$$k(x)=e^{\cos x}$$ é composição de exponencial e cosseno, ambos contínuos em todos os reais ⇒ k também é.

Agora pratique

Determine o domínio onde $$\dfrac{\sqrt{x+4}}{x^2-9}$$ é contínua.
Mostre que $$\sin(x^2)$$ é contínua para todo real.
Encontrar valores de k que tornem contínua a função por partes $$f(x)=\begin{cases}kx+1,&x<2\\x^2,&x\ge2\end{cases}$$.

Fluxo para combinações

Cheque se cada bloco é contínuo no ponto.
Verifique restrições extras (raiz, denominador, log).
Conclua que a operação mantém continuidade onde válida.

Checklist rápido

Listei todas as operações que preservam continuidade?
Indiquei domínios e restrições explicitamente?
Mostrei ao menos uma composição realista?