Seção 2 · Limites

Propriedades Algébricas de Limites

Depois de entender a ideia de aproximação, precisamos de regras práticas para combinar funções. Estas propriedades transformam expressões longas em contas simples.

Objetivos de aprendizagem

Aplicar regras de soma, diferença, produto e quociente.
Usar constantes e potências sem recomeçar toda a análise.
Criar expressões equivalentes que respeitam as hipóteses dos limites.

Principais propriedades

Soma e diferença

If $$\lim_{x \to a} f(x)=L$$ e $$g(x)=M$$, então $$\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = L \pm M$$. Use para separar blocos independentes.

$$\lim (f+g)=\lim f + \lim g$$

Produto e constantes

Multiplicar por um número ou por outra função mantém o limite: $$\lim c\cdot f = cL$$ e $$\lim (f \cdot g) = LM$$.

Constantes podem sair do limite.

Quociente e potência

Para dividir, basta que o limite do denominador não seja zero: $$\lim \dfrac{f}{g} = \dfrac{L}{M}$$. Potências passam para fora: $$\lim[f(x)]^n = L^n$$.

Evite divisões por 0.

Exemplos resolvidos

Combinação linear

Calcule $$\lim_{x \to 1} (3x^2-2x+5)$$.

Separe em pedaços e substitua: $$3(1)^2-2(1)+5=6$$.
Produto de limites

Sabendo que $$\lim f(x)=4$$ e $$\lim g(x)=-2$$, encontre $$\lim (5f(x)-3g(x))$$.

Use linearidade: $$5·4-3·(-2)=26$$.
Quociente válido

Calcule $$\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2-4}{x-2}$$.

Simplifique para $$x+2$$ (com x≠2). O limite é 4.

Agora pratique

Resolva $$\lim_{x \to -1} (2x^3-5x^2+1)$$ usando apenas substituição.
Se $$\lim_{x \to 0} f(x)=3$$ e $$\lim g(x)=2$$, determine $$\lim (f(x)g(x)^2)$$.
Escolha uma função em dois termos e separe-a usando soma de limites.

Checklist de propriedades

Substitua valores simples e veja se o limite existe individualmente.
Combine resultados com as regras apresentadas.
Revisite hipóteses: principalmente divisor ≠ 0.

Checklist rápido

Identifiquei quais limites simples compõem a expressão?
Verifiquei se há divisões por zero ou raízes de negativos?
Registrei o uso de cada propriedade para justificar o passo?