Seção 4 · Derivadas
Regra da Cadeia
Funções compostas são tipo cebolas: camadas sobre camadas. A regra da cadeia garante que as taxas se propaguem corretamente por todas elas.
Objetivos de aprendizagem
- Enunciar a regra da cadeia na forma simbólica.
- Identificar camadas internas e externas antes de derivar.
- Resolver exemplos clássicos como potências de polinômios e composições com trigonométricas.
Fluxo da derivação
Enunciado
Se y=f(g(x)), então $$\frac{dy}{dx}=f'(g(x))·g'(x).$$ Pense em "derivada de fora" vezes "derivada de dentro".
Diagramas
Use uma setinha: x → g(x) → f(g(x)). Ao derivar, multiplique as taxas na ordem inversa do fluxo.
Versão em h
Escreva u=g(x) e trate u como variável intermediária. Diferencie f(u) em relação a u e multiplique pelo du/dx.
Exemplos resolvidos
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(3x+1)^5
f(x) = (3x+1)^5 ⇒ camada externa é u^5, interna é 3x+1. Resultado: f'(x)=5(3x+1)^4·3 = 15(3x+1)^4.
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ln(5x^2+1)
g(x)=\ln(5x^2+1) ⇒ g' = \(\frac{1}{5x^2+1}\)·10x = \(\frac{10x}{5x^2+1}\).
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sin(√x)
h(x)=\sin(\sqrt{x}). Derive: cos(√x) · \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\).
Agora pratique
- Calcule \(\frac{d}{dx}(e^{3x^2})\).
- Derive y=(2x^3-1)^{7/2}.
- Mostre cada camada ao derivar h(x)=\cos(\ln x).
Checklist de camadas
- Identifique a função externa.
- Substitua a parte interna por u para derivar rápido.
- Volte u=g(x) e multiplique por g'(x).
Checklist rápido
- Evidenciei cada camada da composição?
- Multipliquei pelo derivado da parte interna ao final?
- Mostrei exemplos com trigonométricas e logaritmos?