Seção 5 · Aplicações da Derivada

Regra de L'Hôpital

Quando um limite cai nas formas 0/0 ou ∞/∞, derivar numerador e denominador pode revelar a resposta escondida.

Objetivos

Reconhecer quando a regra é aplicável.
Executar derivadas sucessivas se necessário.
Combinar L'Hôpital com álgebra para resolver formas avançadas.

Formas permitidas

Diretas

0/0 e ∞/∞ são autorizadas. Cheque antes de aplicar.

Transformações

Formas 0·∞, ∞-∞, 1^∞, 0^0, ∞^0 podem virar razão aplicável via álgebra ou logaritmos.

Condições

f e g devem ser diferenciáveis perto do ponto (exceto talvez no próprio ponto) e g'(x)≠0 nas proximidades.

Exemplos progressivos

\(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\) aplicando uma vez.
\(\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=0\) (∞/∞ → 0/∞ após derivada).
\(\lim_{x\to 0^+} x^x\). Use logaritmo: y=x^x ⇒ ln y=x ln x ⇒ aplique L'Hôpital em ln y.

Pratique

Resolva \(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}\).
Calcule \(\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^x}\).
Analise \(\lim_{x\to 0^+}(\sin x)^x\).

Checklist

Confirmou a forma indeterminada?
Aplicou derivadas cuidadosas?
Reavaliou o limite após cada passo?