Seção 4 · Derivadas
Regras Básicas de Derivação
Transforme derivar em ato reflexo: memorize as regras que eliminam o sofrimento de repetir limites toda aula.
Objetivos de aprendizagem
- Aplicar as regras da constante, potência e múltiplo constante.
- Combinar regras de soma/diferença para funções grandes.
- Usar as fórmulas de produto e quociente com segurança.
Kit essencial
Constante e potência
\((c)'=0\) e \((x^n)'=nx^{n-1}\) para inteiro n. Um múltiplo constante sai multiplicando: \((c\,f(x))'=c\,f'(x)\).
Soma e diferença
Derive termo a termo: \((f+g)' = f'+g'\). Parece trivial, mas salva vidas quando temos polinômios monstruosos.
Produto & quociente
Produto: \((fg)' = f'g + fg'\). Quociente: $$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g - fg'}{g^2}, \quad g(x)\neq 0.$$
Exemplos resolvidos
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Polinômio simples
f(x)=3x^4-2x+7 ⇒ f'(x)=12x^3-2.
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Produto
f(x)=x^2·e^x ⇒ f'=2x·e^x + x^2·e^x = e^x(x^2+2x).
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Quociente
g(x)=(3x+1)/(x^2+1) ⇒ g' = \(\frac{3(x^2+1)-(3x+1)2x}{(x^2+1)^2}\).
Agora pratique
- Diferencie f(x)=5x^3-4x^{-1}+9.
- Use a regra do produto para f(x)=(x^2+1)\ln x.
- Derive h(x)=\frac{\sqrt{x}}{x^2+4} e simplifique.
Tabela relâmpago
- (sen kx)' = k cos kx
- (e^{kx})' = k e^{kx}
- Combine: mantenha fatores originais sempre que possível.
Checklist rápido
- Identifiquei fatores e divisores antes de derivar?
- Simplifiquei apenas após aplicar a regra correta?
- Indiquei restrições (como g(x)≠0) para quociente?