Seção 4 · Derivadas

Taxas Relacionadas

Transforme um problema verbal em equações, derive em relação ao tempo e descubra como uma variável influencia a outra.

Objetivos

Identificar variáveis relacionadas por uma equação geométrica ou física.
Diferenciar implicitamente em relação ao tempo.
Substituir valores instantâneos para encontrar a taxa pedida.

Fluxo geral

Desenhe a situação e rotule variáveis.
Escreva uma equação que ligue as variáveis (Pitágoras, volumes, semelhança...).
Diferencie implicitamente em relação ao tempo (use \(\frac{dx}{dt}\)).
Substitua valores conhecidos para achar a taxa desconhecida.

Exemplos

Escada escorregando

Escada de 5 m, base afastando a 1 m/s. Qual a velocidade do topo descendo quando a base está a 3 m? Use x^2+y^2=25.

Cone enchendo

Volume V=\(\frac{1}{3}\pi r^2 h\) e semelhança r=\(\frac{R}{H}h\). Derive para relacionar dV/dt e dh/dt.

Luz contra parede

Pessoa caminha afastando-se de uma lâmpada; sombra sobe a parede. Monte uma relação semelhante a x^2+y^2 ou proporcionalidades.

Exercícios rápidos

Balão esférico inflado a 20 cm^3/s. Qual dR/dt quando R=3 cm?
Duas partículas movem-se ao longo dos eixos. Quando estão a 4 m e 5 m da origem, a que taxa aumenta a distância entre elas?
Prisma reto com base quadrada cresce mantendo volume. Como variam altura e lado?

Dicas

Substitua valores somente depois de derivar.
Mantenha unidades coerentes (m/s, cm/min...).
Confirme se a taxa calculada é positiva ou negativa conforme o movimento.

Checklist

Identifiquei claramente as variáveis?
Derivei implícita antes de substituir?
Analisei o sinal da taxa obtida?