Seção 2 · Limites
Técnicas de Resolução de Limites
Este módulo reúne as estratégias mais usadas antes de chegarmos a ferramentas avançadas. Com o kit certo, a maioria dos limites se torna uma sequência previsível de passos.
Objetivos de aprendizagem
- Diagnosticar o tipo de expressão e escolher a técnica apropriada.
- Executar fatoração, racionalização e divisão por termo dominante.
- Usar comparação e estimativas para limites que envolvem desigualdades.
Kit de ferramentas
Fatoração
Remova fatores comuns para cancelar termos que provocam 0/0. Ideal em polinômios e expressões quadráticas.
Fator comum, soma e diferença de cubos.
Racionalização e conjugados
Quando há raízes, use o conjugado para eliminar radicais do numerador ou denominador.
$$a-b=(a-b)\dfrac{a+b}{a+b}$$
Divisão por termo dominante
Em limites com x→∞ ou -∞, divida todos os termos pelo maior grau para revelar a tendência.
Divida por $$x^n$$ ou exponenciais maiores.
Comparação
Enquadre a função entre duas outras de limites conhecidos (teorema do confronto) para estimar o valor.
$$g(x)\le f(x) \le h(x)$$ → mesmos limites.
Reescrita trigonométrica
Substitua identidades como $$1-\cos x=2\sin^2 \frac{x}{2}$$ para eliminar termos problemáticos.
Útil em limites com seno/cosseno pequenos.
Exemplos resolvidos
-
Fatoração
$$\lim_{x \to -2} \dfrac{x^2-4}{x+2}$$ → fatorar e cancelar resulta em -4.
Passo a passo: fatora-se, cancela o termo e substitui.
-
Racionalização
$$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x}$$ = $$\dfrac{1}{2}$$ após multiplicar pelo conjugado.
A técnica remove a raiz do numerador.
-
Comparação trigonométrica
Use $$-1 \le \cos x \le 1$$ para mostrar que $$\lim_{x \to 0} x\cos \dfrac{1}{x}=0$$.
Multiplicar desigualdade por x (que vai a 0) garante confronto.
Agora pratique
- Escolha um limite que gere 0/0 e resolva usando duas técnicas diferentes.
- Crie um fluxograma pessoal: qual técnica testar primeiro?
- Pesquise um limite famoso (como $$\sin x/x$$) e explique qual técnica aparece.
Checklist de escolha
- Substitua valores para descobrir a forma.
- Se houver polinômios → fatorar; raízes → racionalizar; x→∞ → dividir pelo termo dominante.
- Se nada funcionar, tente comparar ou usar identidades trigonométricas.
Checklist rápido
- Classifiquei o tipo de limite antes de agir?
- Teste rapidamente uma técnica e verifique se a forma indeterminada desapareceu.
- Relacionei o resultado ao gráfico ou ao comportamento da função?