Math

Seção 2 · Limites

Teorema do Confronto

Quando não conseguimos calcular o limite diretamente, vale cercar a função entre duas outras de comportamento conhecido. Se ambas concordarem, nosso limite também concorda.

Objetivos de aprendizagem

  • Enunciar o teorema: se $$g(x)\le f(x)\le h(x)$$ e ambos os limites valem L, então o limite de f também é L.
  • Escolher funções auxiliares adequadas para montar as desigualdades.
  • Aplicar o raciocínio em funções oscilatórias ou com módulo.

Como aplicar na prática

Passo 1: detectar oscilação

Funções com seno, cosseno ou módulo costumam ficar entre -1 e 1. Multiplicar por outra função ajuda a criar os limites inferior e superior.

$$-1 \le \sin x \le 1$$

Passo 2: multiplicar desigualdades

Se multiplicarmos toda a desigualdade por uma função positiva, a ordem se mantém. Isso aproxima f(x) de zero, por exemplo.

Se $$0 \le a(x)$$, então $$-a(x) \le a(x)\sin x \le a(x)$$.

Passo 3: tomar limites

Calcule os limites das funções que você escolheu. Se ambos coincidirem, o teorema garante que o limite central também coincide.

$$\lim g = \lim h = L \Rightarrow \lim f = L$$

Exemplos resolvidos

  1. Limite clássico

    Prove que $$\lim_{x \to 0} x\sin \dfrac{1}{x}=0$$.

    Sabemos que $$-1 \le \sin \frac{1}{x} \le 1$$. Multiplicando por x (em valor absoluto) obtemos $$-|x| \le x\sin\frac{1}{x} \le |x|$$. Os dois extremos vão para 0 ⇒ limite 0.

  2. Função com módulo

    $$\lim_{x \to 0} x^2 \cos\left(\dfrac{1}{x}\right)=0$$ segue a mesma lógica: cos está entre -1 e 1, e x^2 → 0.

    Como $$-x^2 \le x^2\cos(1/x) \le x^2$$, o limite central é 0.

  3. Exemplo com exponencial

    Mostre que $$0 \le e^x-1 \le 2x$$ para x pequeno positivo e conclua que $$\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x-1}{x}=1$$ por comparação.

    As desigualdades podem vir de séries ou médias, e garantem o mesmo limite.

Agora pratique

  • Use $$-1 \le \cos x \le 1$$ para provar que $$\lim_{x \to 0} x^3\cos(5/x)=0$$.
  • Encontre funções g e h para comparar $$f(x)=x^2 e^{\sin(1/x)}$$.
  • Explique em texto curto por que o teorema é chamado de “sanduíche”.

Guia sanduíche

  1. Identifique uma função limitada (seno, cos, módulo).
  2. Multiplique pelos termos que vão a zero ou a L.
  3. Escreva a desigualdade completa e tome limites.

Checklist rápido

  • Escolhi funções comparáveis e com limites conhecidos?
  • Respeitei o sentido da desigualdade multiplicando por termos positivos?
  • Declare explicitamente que os dois limites extremos coincidem?