Seção 3 · Continuidade

Teoremas Fundamentais da Continuidade

Com as hipóteses certas, funções contínuas entregam garantias preciosas: passar por todos os valores intermediários e alcançar máximo e mínimo em intervalos fechados.

Objetivos de aprendizagem

Enunciar e aplicar o Teorema do Valor Intermediário (TVI).
Usar o Teorema do Valor Máximo/Mínimo (TVM) em intervalos fechados e limitados.
Construir argumentos para existência de raízes usando mudança de sinal.

Teoremas em foco

TVI

Se f é contínua em [a,b] e L está entre f(a) e f(b), existe c em (a,b) com f(c)=L. Útil para provar existência de raízes quando f(a)·f(b)<0.

$$f(a) < L < f(b) \Rightarrow \exists c$$

TVM (Weierstrass)

Funções contínuas em intervalos fechados e limitados atingem máximo e mínimo absolutos. Procure extremos avaliando bordas e críticos.

Intervalo fechado + contínua ⇒ extremos.

Localização de raízes

Combine TVI com bisseção: repita mudanças de sinal para aproximar soluções numéricas.

Pseudo-algoritmo da bisseção.

Exemplos resolvidos

Existência de raiz

f(x)=x^3-4x+1 em [0,2]: f(0)=1, f(2)=-3 ⇒ mudança de sinal ⇒ TVI garante c∈(0,2) com f(c)=0.
Máximo absoluto

g(x)=3\cos x em [0,2π]: contínua, fechado, limitado ⇒ avalie bordas e críticos (g'= -3\sin x =0 ⇒ x=0,π,2π). Máximo =3, mínimo =-3.
Bisseção

Para resolver $$\cos x = x$$, estude h(x)=\cos x - x em [0,1]: h(0)=1>0, h(1)=\cos1-1<0. TVI garante raiz; bisseção aproxima em poucas iterações.

Agora pratique

Mostre que existe solução para $$x^5+2x-3=0$$ no intervalo [0,1].
Use o TVM para encontrar máximo e mínimo de $$f(x)=x^2-4x+5$$ em [1,3].
Implemente manualmente duas iterações do método da bisseção para o exemplo anterior.

Checklist de hipóteses

Função é contínua no intervalo alvo?
Intervalo é fechado e limitado?
Existe mudança de sinal ou comparação entre bordas?

Checklist rápido

Destaquei hipóteses de cada teorema antes de usar?
Mostrei exemplos com mudança de sinal e com máximos?
Registrei algoritmos (bisseção) de forma textual?