Math

Seção 5 · Aplicações da Derivada

Teste da Primeira Derivada

Sinais de f'(x) antes e depois do ponto crítico contam a história. É rápido e sempre funciona quando f' existe.

Objetivos

  • Aplicar o teste a qualquer ponto crítico.
  • Classificar extremos locais com base em mudanças de sinal.
  • Relacionar conclusões com o gráfico completo.

Fluxo em 4 passos

  1. Encontre o ponto crítico c resolvendo f'(x)=0 ou onde f' não existe.
  2. Escolha um ponto à esquerda (c—) e outro à direita (c+).
  3. Avalie o sinal de f'(x) em cada lado.
  4. Conclusão: +→- máximo; -→+ mínimo; mesmo sinal → ponto de sela.

Exemplos

Polinômio

f(x)=x^4-4x^2. Ponto crítico em x=0 e x=±\sqrt{2}. Use o teste para cada um.

Função com restrição

g(x)=x^{2/3}(4-x). Atenção às regiões onde f' não existe (x=0) e pontos internos.

Trigonométrico

h(x)=\sin x + \cos x em [0,2\pi]. Use o teste combinado com periodicidade.

Pratique

  • Classifique x=1 para f(x)=x^3-3x+1.
  • Analise f(x)=e^{-x}(x-1) quanto aos sinais de f'.
  • Mostre um exemplo onde o teste aponta ponto de sela.

Checklist

  • Escolheu pontos de teste coerentes?
  • Descreveu a mudança de sinal explicitamente?
  • Conectou o resultado ao gráfico?