Math

Seção 5 · Aplicações da Derivada

Teste da Segunda Derivada

Quando f'' existe e é fácil de avaliar, este teste vira a marreta oficial para classificar extremos em um único passo.

Objetivos

  • Aplicar o teste em funções suavemente deriváveis.
  • Interpretar f''(c)>0 como mínimo e f''(c)<0 como máximo.
  • Reconhecer casos inconclusivos (f''(c)=0).

Receita expressa

  1. Encontre c tal que f'(c)=0.
  2. Calcule f''(c).
  3. Conclusões: f''(c)>0 ⇒ mínimo; f''(c)<0 ⇒ máximo; f''(c)=0 ⇒ teste falha.

Exemplos

Polinômio simétrico

f(x)=x^4-2x^2. Pontos críticos em x=0, ±1. Avalie f''=12x^2-4.

Exponencial

g(x)=e^{-x}(x-2). Determine f'' para classificar o único crítico.

Falha

h(x)=x^4. f''(0)=0 ⇒ teste inconclusivo. Use alternativa (primeira derivada).

Pratique

  • Classifique f(x)=\sin x - x em x=0.
  • Analise g(x)=x e^{-x^2}.
  • Mostre um exemplo onde f''=0 mas o ponto é máximo.

Checklist

  • Confirmou que f'' existe no ponto?
  • Registrou claramente o valor de f''(c)?
  • Anotou o que fazer se f''=0?