Curvas Impossíveis
Conheça caminhos que preenchem áreas inteiras, curvas com comprimento finito e tangentes inesperadas.
Curva de Peano
É uma curva contínua que passa por todos os pontos de um quadrado.
\(\text{dimensão} = 2\), mesmo sendo desenhada a partir de segmentos lineares.
- Divida o quadrado em nove partes iguais.
- Trace o percurso que visita cada subquadrado sem levantar o lápis.
- Repita refinando para observar como o caminho densifica.
Curva de Koch vs. área
Enquanto o perímetro explode, a área adicionada continua limitada.
\(L \to \infty\) mas \(A < \frac{8}{5} A_0\)
Discuta com colegas como algo pode ter borda infinita e área finita.
Trombeta de Gabriel
O sólido gerado pela rotação de \(y = \frac{1}{x}\) para \(x \ge 1\) possui volume finito e área infinita.
\(V = \pi \int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx = \pi\)
Use essa ideia para debater como pintar uma superfície sem encher seu interior.
Atividades
- Simule uma curva de espaço preenchedor usando código simples e capture frames.
- Compare gráficos de velocidade ao longo de curvas com comprimento infinito.
- Escreva um mini-ensaio sobre por que o senso comum falha diante dessas figuras.
Conclusão
Curvas impossíveis desafiam o vocabulário cotidiano e estimulam provas cuidadosas sobre comprimento, área e continuidade.