Formas Absurdas

Origem e conceito

A garrafa de Klein surge ao colar duas fitas de Möbius pelas bordas. Diferente de um toro, ela é não orientável e não possui "lado de fora" independente.

\(\chi_{\text{Klein}} = 0\), mas a orientabilidade é perdida porque a identificação das bordas inverte a direção.

Modelo paramétrico

Uma parametrização comum utiliza ângulos \(u, v \in [0, 2\pi]\):

\[\begin{aligned} x &= \left(r + \cos \frac{u}{2} \sin v - \sin \frac{u}{2} \sin 2v\right) \cos u,\\ y &= \left(r + \cos \frac{u}{2} \sin v - \sin \frac{u}{2} \sin 2v\right) \sin u,\\ z &= \sin \frac{u}{2} \sin v + \cos \frac{u}{2} \sin 2v \end{aligned}\]

Escolha \(r = 2\) para evitar interseções exageradas no espaço tridimensional.

Protótipos acessíveis

• Garrafas PET: sobreponha dois gargalos cortados e cole com fita transparente para indicar identidades.
• Impressão 3D: use malhas STL para criar modelos translúcidos que evidenciam a auto-intersecção.
• Simulações AR: apps de realidade aumentada permitem "entrar" na superfície e observar a inversão.

Atividades guiadas

1. Desenhe o retângulo fundamental e marque as bordas com setas mostrando as colagens.
2. Transforme o retângulo primeiro em um cilindro, depois em uma fita de Möbius, e finalize com a identificação restante.
3. Compare a garrafa com o toro explicando por que um é orientável e o outro não.

Conclusão

Dominar cortes, projeções e colagens torna a garrafa de Klein uma ferramenta poderosa para discutir topologia com qualquer público curioso.