Passeio Hiperbólico
Caminhe por mosaicos hiperbólicos, veja paralelas se multiplicarem e descubra medidas em espaços de curvatura negativa.
Curvatura constante
No plano hiperbólico, a curvatura é \(K = -1\). Isso altera regras clássicas:
- A soma dos ângulos de um triângulo é sempre menor que \(180^\circ\).
- Há infinitas retas paralelas passando por um ponto externo.
- O perímetro cresce exponencialmente com o raio.
Modelos para visualizar
- Disco de Poincaré: círculos internos representam retas geodésicas.
- Semi-plano superior: linhas verticais e arcos semicirculares funcionam como retas.
- Modelos físicos: crochês hiperbólicos permitem tocar a expansão.
\(ds^2 = \frac{4(dx^2 + dy^2)}{(1 - x^2 - y^2)^2}\) expressa a métrica do disco.
Mosaicos e padrões
Use o símbolo de Schläfli \(\{p, q\}\) com \((p-2)(q-2) > 4\) para identificar tesselações possíveis.
- Com \(\{7,3\}\), três heptágonos se encontram em cada vértice.
- Crie diagramas colorindo faces alternadas para mostrar como o espaço "foge" para a borda.
- Registre medições aparentes e compare com as distâncias reais calculadas pela métrica.
Atividades exploratórias
- Desenhe dois triângulos no disco e calcule a soma dos ângulos com transferidor digital.
- Simule caminhos mais curtos entre cidades hiperbólicas usando softwares de geodésicas.
- Monte um diário ilustrado descrevendo como a curvatura negativa afeta perspectivas.
Conclusão
O passeio hiperbólico amplia o repertório visual e matemático, mostrando que geometria pode dobrar o espaço sem limites.