Infinitos Malucos

Comparando infinitos

Nem todo infinito é igual. Aqui estudamos cardinais, séries, paradoxos e estratégias para comunicar essas ideias para estudantes curiosos.

Percursos principais

  • Cardinalidades

    Descubra por que \(\aleph_0 < 2^{\aleph_0}\) e como provar que existem infinitos mais "densos".

  • Séries infinitas

    Analise convergência, divergência e paradoxos visuais como a soma de \(1/2 + 1/4 + ...\).

  • Modelagem e paradoxos

    Monte experiências mentais, discuta hotéis infinitos e relate armadilhas de intuição.

Cardinais e biijeções

Dois conjuntos infinitos têm o mesmo tamanho quando existe uma bijeção entre eles. Clássico:

\(f(n) = 2n \text{ bijeta } \mathbb{N} \to \text{pares}\)

  • Truque da grade: crie matrizes infinitas para listar pares ordenados.
  • Diagonal de Cantor: mostra que reais \([0,1]\) são incontáveis.
  • Nomenclatura: \(\aleph_0\) para infinitos enumeráveis, \(2^{\aleph_0}\) para a cardinalidade do contínuo.

Séries infinitas

Convergência depende da soma parcial. Exemplo:

\(S = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^k} = 2\)

  1. Calcule parciais \(S_n = 1 - (1/2)^{n+1}\).
  2. Analise o limite \(n \to \infty\).
  3. Discuta aplicações em juros compostos e física.

Séries podem divergir mesmo com termos indo a zero: \(\sum 1/n\) é o exemplo clássico.

Modelagem e paradoxos

Paradoxos ajudam a testar limites da lógica. Combine histórias com representações matemáticas.

  • Hotel de Hilbert: mostre como acomodar infinitos hóspedes extras.
  • Paradoxo de Banach-Tarski: explique que depende do axioma da escolha.
  • Jogos infinitos: destaque sequências sem fim em teoria dos jogos.

Exemplos resolvidos

  • Construa uma bijeção entre inteiros e naturais: \(g(n) = 2n\) se \(n \ge 0\); \(g(n) = -2n-1\) se \(n < 0\).
  • Mostre que \(\sum_{k=1}^{\infty} 1/k^2 = \pi^2/6\) usando o problema de Basileia (referência histórica).
  • Explique o paradoxo da duplicação de esfera com uma tabela "permitido / não permitido" pensada para colegas curiosos.

Prática

  1. Projete um infográfico com três tipos de infinito (contável, contínuo, supercontínuo).
  2. Crie perguntas de verdadeiro ou falso sobre séries e justifique cada resposta.
  3. Escreva um roteiro curto explicando o Hotel de Hilbert para colegas do 9º ano.